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  • 《基础拓扑学》

    《基础拓扑学》是一部拓扑学入门书籍,主要介绍了拓扑空间中的拓扑不变量,以及相应的计算方法。

    编辑摘要
    名称: 《基础拓扑学》 作者: (英)阿姆斯特朗 著,孙以丰 译
    英文名: "Basic Topology" 类别: 图书 > 自然科学 > 数学 > 几何与拓扑 >
    价格: 29.00元 字数: 24.3万字
    语种: 中文 ISBN: 9787115218865
    出版社: 人民邮电出版社 页数: 200页
    开本: 16开 出版时间: 2010年4月1日
    简介: 本书是一本拓扑学入门图书,本书的读者对象为高等院校数学及其相关专业的学生、研究生,以及需要拓扑学知识的科技人员、教师等。 装帧: 平装
    其他: 丛书名: 图灵数学·统计学丛书 ;条形码: 9787115218865 ;ASIN: B003CF3VCE 产品尺寸及重量: 23.6 x 16.4 x 1 cm ; 322 g ;版  次:1;印刷时间:2010-4-1;印  次:1;纸  张:胶版纸。

    目录

    基本信息/《基础拓扑学》 编辑

    系统拓扑图系统拓扑图

    基础拓扑学》是一本拓扑学入门图书,注重培养学生的几何直观能力,突出单纯同调的处理要点,并使抽象理论与具体应用保持平衡。全书内容包括连续性、紧致性与连通性、粘合空间、基本群、单纯剖分、曲面、单纯同调、映射度与Lefschetz数、纽结与覆叠空间。《基础拓扑学》的读者对象为高等院校数学及其相关专业的学生、研究生,以及需要拓扑学知识的科技人员、教师等。[1]

    内容概述/《基础拓扑学》 编辑

    《基础拓扑学》是一部拓扑学入门书籍,主要介绍了拓扑空间中的拓扑不变量,以及相应的计算方法。内容涉及点集拓扑、几何拓扑、代数拓扑中的各类方法及其应用,包含139个图示和350个难度各异的思考题,有助于培养学生的几何直观能力,加强对书中内容的理解。《基础拓扑学》注重抽象理论与具体应用相结合,要求读者具有实分析、初等群论和线性代数的知识。作者在选材和阐述上都着意体现数学的美,注重培养读者的直觉,经常从历史的观点介绍拓扑学。《基础拓扑学》是许多国外知名高校的拓扑学指定教材,在我国也被许多大学采用。

    目录/《基础拓扑学》 编辑

    第1章 引论
    1.1 Euler定理 
    1.2 拓扑等价 
    1.3 曲面 
    1.4 抽象空间 
    1.5 一个分类定理 
    1.6 拓扑不变量 
    第2章 连续性 
    2.1 开集与闭集 
    2.2 连续映射 
    2.3 充满空间的曲线 
    2.4 Tietze扩张定理 
    第3章 紧致性与连通性 
    3.1 En的有界闭集 
    3.2 Heine Borel定理

    拓扑学基础知识/《基础拓扑学》 编辑

    拓扑学的由来

    几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支,它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题,后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。在数学上,关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)是东普鲁士的首都,普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥,将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步,一天有人提出:能不能每座桥都只走一遍,最后又回到原来的位置。这个问题看起来很简单有很有趣的问题吸引了大家,很多人在尝试各种各样的走法,但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。

    1736年,有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉,欧拉经过一番思考,很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化,他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点,而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成,能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析,欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍,最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。

    在拓扑学的发展历史中,还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是:如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f,那么它们总有这样的关系:f+v-e=2。根据多面体的欧拉定理,可以得出这样一个有趣的事实:只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

    著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想,是世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年,毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现象:“看来,每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”1872年,英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题,于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878~1880年两年间,著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文,宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久,泰勒的证明也被人们否定了。于是,人们开始认识到,这个貌似容易的题目,其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。

    进入20世纪以来,科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后,由于演算速度迅速提高,加之人机对话的出现,大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了100亿判断,终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就,他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。

    上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题,但这些问题又与传统的几何学不同,而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声

    什么是拓扑学

    拓扑学的英文名是Topology,直译是地志学,也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”,但是,这几种译名都不大好理解,1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学,这是按音译过来的。

    拓扑学是几何学的一个分支,但是这种几何学又和通常的平面几何立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。

    举例来说,在通常的平面几何里,把平面上的一个图形搬到另一个图形上,如果完全重合,那么这两个图形叫做全等形。但是,在拓扑学里所研究的图形,在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素,每一个图形的大小、形状都可以改变。例如,前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候,他画的图形就不考虑它的大小、形状,仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。

    拓扑性质有那些呢?首先我们介绍拓扑等价,这是比较容易理解的一个拓扑性质。在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念,但是讨论拓扑等价的概念。比如,尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同,在拓扑变换下,它们都是等价图形。左图的三样东西就是拓扑等价的,换句话讲,就是从拓扑学的角度看,它们是完全一样的。在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来,这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下,点、线、块的数目仍和原来的数目一样,这就是拓扑等价。一般地说,对于任意形状的闭曲面,只要不把曲面撕裂或割破,他的变换就是拓扑变幻,就存在拓扑等价。

    应该指出,环面不具有这个性质。把环面切开,它不至于分成许多块,只是变成一个弯曲的圆桶形,对于这种情况,我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。直线上的点和线的结合关系、顺序关系,在拓扑变换下不变,这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。我们通常讲的平面、曲面通常有两个面,就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790~1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。

    拓扑变换的不变性、不变量还有很多,这里不在介绍。拓扑学建立后,由于其它数学学科的发展需要,它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后,他把拓扑学概念作为分析函数论的基础,更加促进了拓扑学的进展。二十世纪以来,集合论被引进了拓扑学,为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。

    因为大量自然现象具有连续性,所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究,可以阐明空间的集合结构,从而掌握空间之间的函数关系。本世纪三十年代以后,数学家对拓扑学的研究更加深入,提出了许多全新的概念。比如,一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何,是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况,而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况,因此,这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年,美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系,并推进了整体几何学的发展。

    拓扑学发展到今天,在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的,叫做点集拓扑学,或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的,叫做代数拓扑。现在,这两个分支又有统一的趋势。拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。[2]

    Euler定理/《基础拓扑学》 编辑

    这里所介绍的Euler定理,在理论和应用两个方面都是很重要的.
    定理1 ( Euler) 设m是正整数,(a,m)=1,则aj(m) ≡1 (mod m).
    证明 由第三节定理2,设{x1,… ,xj(m)}是模m的一个简化剩余系,则{ax1,… ,axj(m)}也是模m的简化剩余系,因此
    x1x2… xj(m) ≡ax1ax2 …axj(m) (mod m),
    x1x2 …xj(m) ≡aj(m)x1x2 …xj(m) (mod m).                   (1)
    由于(x1x2 …xj(m),m)=1,所以由式(1)得出
    aj(m) º 1(mod m).
    证毕.
    定理2 (Fermat) 设p是素数,则对于任意的整数a,有
    apº a (mod p).
    证明 若(a,p)= 1 ,则由定理1得到
    ap-1 ≡1 (mod p)  ap≡a (mod p).
    若(a,p)>1,则(a,p)=p, p| a,所以
    ap≡0≡ a (mod p).
    证毕.
    例1 设n是正整数,则51n+2n+3n+4n的充要条件是4|n. 
    解 因为 j(5)=4,所以,由定理2,
    k4 ≡ 1 (mod 5), 1≤k≤4.
    因此,若n=4q+r,0 r 3,则
    1n+2n+3n+4n≡ 1r+2r+3r+4r≡1r+2r+(-2)r+(-1)r (mod 5),    (2)
    用r=0,1,2,3,4分别代入式(2)即可得出所需结论.
    例2 设{x1,… ,xj(m)}是模m的简化剩余系,则 
     (x1x2… xj(m))2≡1 (mod m).
    解 记P=x1x2… xj(m),则(P,m)=1. 又记
    =, 1i j(m),
    则{y1,…… ,yj(m)}也是模m的简化剩余系,因此 
     (mod m), 
    再由Euler定理,推出
    P2≡Pj(m) ≡1 (mod m). 
    例3 设(a,m)=1,d0 是使 
    ad ≡1(mod m)                                        (3)
    成立的最小正整数,则  
     (i) d0| j(m); 
     (ii) 对于任意的i,j, 0 i,jd0-1,ij,有
    aiaj (mod m).                                        (4)
    解 (i) 由Euler定理,d0(m), 因此,由带余数除法,有 
     j(m)=qd0+r, q Z, q>0, 0r<d0 .                     (5)
    因此,由上式及d0的定义,利用定理1,我们得到
    1≡  (mod m),
    即整数r满足
    ar≡1 (mod m), 0£ r<d0.
    由d0的定义可知必是r=0,即d0|j(m). 
     (ii)若式(4)不成立,则存在i,j, 0 i,j d0-1,ij,使得
    ai≡aj(mod m).
    不妨设 i>j,于是,因为(a,m)=1,所以 ai-jº 0 (mod m),其中 0<i-j<d0.这与d0的 定义矛盾,所以式(4)必成立.
    例4 设a,b,c,m是正整数,m>1,(b,m)=1,并且 
    ba≡1 (mod m), bc≡ 1 (mod m),                        (6)
    记d=(a,c),则bd≡1(mod m). 
    解 利用辗转相除法可以求出整数x,y,使得ax+cy=d,显然xy<0.
    若x>0, y<0, 由式(6)及bd=bax+cy
    1≡bax=BDB-cy=bd(bc)-y≡bd ( mod m).
    若x<0, y>0, 则
    1≡bcy=bdb-ax=bd(ba)-x≡bd ( mod m).
    例5 设p是素数,p|bn-1,nN, 则下面的两个结论中有一个成立:
    (i) p|bd-1对于n的某个因数d<n成立;
    (ii) p≡1 ( mod n ).
    若p>2,2n , 则(ii)中的mod n 可以改为mod 2n.
    解 由bn≡1, bp -1≡ 1 (mod p),及例题5,有
    bd≡1 ( mod p ), d=(n,p-1). 
    若d<n,则 结论(i)得证.
    若d=n,则n| p-1,即p≡1(mod n),这就是结论(ii).
    若2n ,p>2,则p≡1(mod 2).由此及结论(ii),并利用同余的基本性质,得到p≡ 1(mod 2n).
    注 例5提供了一个求素因数的方法,就是说,整数bn-1的素因数p,可能是bd-1(d|n)的素因数,或者是形如kn+1的数, 或2kn+1的数(当2n ,p>2时).
    例6 将211-1=2047分解因数.
    解 由例5,若p | 211-1,则p ≡ 1(mod 22),即p只能在数列
    23,45,67, … ,22k+1,… 
    中.逐个用其中的素数去除2047,得到
    23 | 2047, 2047=23·89 .
    例7 将235-1=34359738367 分解因数.
    解 由例5,若 p|235-1,则p是25-1=31或27-1=127的素因数,或者p≡1 (mod 70).由于31和127是素数,并且
    235-1=,
    所以,235-1的另外的素因数p只可能在数列
    71,211,281, …                                                                                 (7)
    中.经检验,得到8727391= .
    显然,122921的素因数也在31,127, 或者数列(7)中.简单的计算说明,122921不能被31 和127整除,也不能被数列(7)中的不超过<351的数整除,所以122921是素数,于是
    235-1=.
    例8 设n是正整数,记Fn=22n +1,则2Fnº 2 (mod Fn). 
    解 容易验证,当 n≤ 4 时Fn 是素数,所以,由Fermat定理可知结论显然成立.
    当n³ 5时,有n+1<2n, 2n+1 | .记 =k2n+1,则 
    -2= -2=2( -1)=2( -1)
    =2( ( )k )=2Q1(-1)=Q2( +1)
    其中Q1与Q2是整数. 上式即是
    ≡ 2 (mod Fn).
    注1 我们已经知道,F5是合数,因此,例9说明,一般地, Fermat定理的逆定理不成立. 即, 若有整数a, (a,n)=1,使得
    an-1 ≡ 1 (mod n),                                     (8)
    并不能保证n是整数. 习题2说明, 即使所有的与n互素的整数都满足式(8), 也不能保证n是素数. 
    注2 设n是合数,若存在整数a, (a,n)=1, 使得式(8)成立,则称n是关于数a的伪素数.
    例9 对于任意的正整数a,存在无穷多个关于数a的伪素数.
    解 取奇素数p,(p, a(a2-1))=1,令
    ,
    则m显然是合数.由于p-1是偶数,所以, a2-1|ap-1-1;由Euler定理,又有p|ap-1-1.但是(p, a2-1)=1, 所以p(a2-1)|ap-1. 此外,由于a和ap有相同的奇偶性,所以2|(a+ap). 注意到 
     (a2-1)(m-1)= a2p-a2 = a(ap-1-1)(ap+a) ,
    我们得到
    2p(a2-1)|(a2-1)(m-1) Þ 2p|m-1,
    即存在整数t, 使得m=1+2pt,于是由m的定义,有
    a2p=1+m(a2-1)≡ 1 (mod m), 
    因此am-1= a2pt 1 (mod m) 并且 (a, m)=1, 这说明m是关于a的伪素数.由于满足条件的素数p有无穷多个,所以,关于a的伪素数m也有无穷多个.
    习 题
    1. 证明:1978103 - 19783能被103整除。
    2. 求313159被7除的余数。
    3. 证明:对于任意的整数a,(a, 561) = 1,都有a560 º 1 (mod 561),但561是合数。
    4. 设p,q是两个不同的素数,证明:
    pq - 1 + qp - 1 º 1 (mod pq)。
    5. 将612 - 1分解成素因数之积。
    6. 设nΠN,bΠN,对于bn + 1的素因数,你有甚麽与例6相似的结论?[3]

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    参考资料
    [1]^引用日期:2011-05-05
    [2]^引用日期:2011-05-05
    [3]^引用日期:2011-05-06

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