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  • 《高等数学》

    《高等数学》是各个大学理工科各个专业必修的公共基础课。初步受到用数学方法解决实际问题的能力训练,为学生学习后续课程和进一步获得近代科学技术知识奠定必要的数学基础。

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    基本信息 编辑信息模块

    名称: 《高等数学》 作者: 曾令武,吴满
    字数: 281000 语种: 汉语
    ISBN: 9787562332527 出版社: 华南理工大学出版社
    页数: 190 开本: 16开
    出版时间: 2010年2月1日 装帧: 平装

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    基本信息/《高等数学》 编辑

    ·出版社:高等教育出版社

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    ·页码:413 页
    ·出版日期:2007年01月
    ·ISBN:9787040205497
    ·条形码:9787040205497
    ·版本:第1版
    ·装帧:平装
    ·开本:16
    ·正文语种:中文
    ·读者对象:高等院校学生
    ·丛书名:普通高等教育“十一五”国家级规划教材
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    《高等数学》:/《高等数学》 编辑

    此课程的主要内容有:一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数(包括幂级数傅里叶级数)、常微分方程、空间解析几何与向量代数、多元函数微分学、重积分、概率统计的基础知识。是各个大学理工科各个专业必修的公共基础课。通过本课程的学习,可以逐步培养学生抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、自学能力,较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。初步受到用数学方法解决实际问题的能力训练,为学生学习后续课程和进一步获得近代科学技术知识奠定必要的数学基础。

    内容及要求/《高等数学》 编辑

    《高等数学》《高等数学辅导》
    函数:常量与变量,函数的定义、函数的表示方法:解析法,图示法、表格法、函数的性质:函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性、初等函数:基本初等函数,复合函数,初等函数,分段表示的函数,建立函数关系极限:数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算,无穷小量与无穷大量,无穷小量的性质,无穷小量的比较,两个重要极限连续:函数在一点连续,左右连续,连续函数,间断点及其分类,初等函数的连续性,闭区间上连续函数性质的叙述。重点:函数概念,基本初等函数。难点:建立函数关系,极限概念

    要求:理解函数的概念,了解分段函数。能熟练地求函数的定义域和函数值。了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)。掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。了解复合函数、初等函数的概念。会列简单应用问题的函数关系式。了解极限、左右极限的概念了解无穷小量的概念,了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系,以及无穷小量的比较。掌握极限的四则运算法则.会用两个重要极限求极限。了解函数连续性的定义,会求函数的连续区间。了解函数间断点的概念,会判别函数间断点的类型。知道初等函数的连续性,知道闭区间上的连续函数的几个性质(最大值、最小值定理和介值定理)。

    导数:导数的定义及几何意义,函数连续与可导的关系,基本初等函数的导数,导数的四则运算法则,复合函数求导法则,隐函数求导法则,对数求导法举例,用参数表示的函数的求导法则,高阶导数微分:微分的概念与运算,微分基本公式表,微分四则运算法则,一阶微分形式的不变性中值定理:罗尔定理拉格朗日中值定理、柯西中值定理的叙述导数应用:用洛必塔法则求未定式极限,函数的单调性判别法,函数的极值及其求法,函数图形的凹凸性及其判别法,拐点及其求法,水平与垂直渐近线,最大值、最小值问题,弧微分重点:导数概念和导数的计算,导数的应用难点:复合函数求导,隐函数求导。

    要求:理解导数与微分概念(微分用dy=y\"dx定义),了解导数的几何意义。会求曲线的切线和法线方程。知道可导与连续的关系。熟记导数与微分的基本公式,熟练掌握导数与微分的四则运算法则。熟练掌握复合函数的求导法则。掌握隐函数的微分法,会用取对数的方法求导数,会求参数表示的函数的一阶导数。知道一阶微分形式的不变性。了解高阶导数概念,掌握求显函数的二阶导数的方法。了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论,会用拉格朗日定理证明简单的不等式。掌握洛比塔法则,会用它求“”、“”型不定式极限。了解驻点、极值点、极值、凹凸、拐点等概念。掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点(包括判别)的方法,了解可导函数极值存在的必要条件。知道极值点驻点的区别与联系。会用二阶导数求曲线凹凸区间(包括判别),会求曲线的拐点。会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法,以几何问题为主。

    《高等数学》《高等数学》
    不定积分:原函数、不定积分概念,不定积分的性质,基本积分公式表。积分法:第一换元积分法,第二换元积分法,分部积分法,有理函数积分举例,三角有理式积分举例,积分表的使用定积分:定积分的定义及几何意义。定积分的性质,积分中值定理。牛顿-莱布尼兹公式,定积分的换元积分法、分部积分法。定积分的近似计算(梯形法),无穷积分。定积分的应用:求平面曲线围成图形的面积,旋转体(绕坐标轴旋转)体积,平面曲线的弧长,变力做功,引力、侧压力等重点:积分概念与计算,在几何上的应用难点:积分的计算。

    要求:理解原函数与不定积分概念,了解不定积分的性质以及积分与导数(微分)的关系。熟记积分基本公式,熟练掌握第一换元积分法和分部积分法。掌握第二换元积分法。会求较简单的有理分式函数(分母为二次多项式)的积分。了解定积分概念(定义、几何意义、物理意义)和定积分的性质。了解原函数存在定理,知道变上限的定积分,会求变上限定积分的导数。熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式,并熟练地用它计算定积分。掌握定积分的换元积分法和分部积分法。了解无穷积分收敛性概念,会计算较简单的无穷积分。会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积(直角坐标系)和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积。

    无穷级数:无穷级数的收敛、发散及收敛级数的和的概念。级数收敛的必要条件,几何级数、p-级数的收敛条件。正项级数:比较判别法、比值判别、交错级数:莱布尼兹判别法。幂级数:收敛半径及其求法,收敛区间。泰勒级数:,ex,sinx,cosx,ln(1+x)五个函数的马克劳林级数展开式。重点:正项级数、幂级数收敛判别法,收敛半径的求法难点:初等函数展成泰勒级数。

    要求:了解无穷级数的收敛与发散概念及其主要性质,尤其是无穷级数收敛的必要条件,知道几何级数和p级数收敛的条件。掌握正项级数收敛性的比值判别法。理解幂级数收敛半径概念,熟练掌握求收敛半径的方法。

    常微分方程:基本概念:微分方程及其阶、解(特解、通解)、初始条件。一阶微分方程:变量可分离的微分方程,齐次型微分方程,一阶线性微分方程(齐次或非齐次)可降阶的二阶方程。二阶线性微分方程:解的结构,二阶常系数线性齐次微分方程的通解的求法,二阶常系数线性非齐次微分方程(特殊自由项)的特解及通解的求法。微分方程应用举例。重点:基本概念,一阶微分方程和二阶线性常系数微分方程的解法。难点:列微分方程,二阶线性常系数非齐次微分方程特解的求法。

    要求:了解微分方程,阶,解(特解、通解),线性,齐次,非齐次,初始条件等概念。熟练掌握变量可分离的微分方程的解法。熟练掌握一阶线性方程的解法。了解特征方程和特征根概念。熟练掌握求二阶线性常系数齐次微分方程通解的特征根法。掌握二阶线性常系数非齐次方程(自由项为及,其中为多项式)的特解求法--待定系数法。

    空间解析几何与向量代数:空间直角坐标:空间直角坐标系,点的坐标,两点间距离公式。向量代数:向量概念,向量的模,单位向量,向量的加减法,数乘向量,向量的坐标,向径,方向余弦,方向角,向量数量积、向量积,两向量的夹角,平行、垂直的条件。空间平面:平面的点法式方程,一般方程。空间直线:直线的标准方程,参数方程,一般方程。平面与直线的位置关系的讨论。空间曲面与曲线:曲线方程的概念,球面、椭球面,旋转抛物面,母线平行于坐标轴的柱面、以坐标轴为轴的圆锥面,空间曲线的参数方程。重点:向量概念,向量的运算,平面的点法式方程,直线的标准方程。难点:建立空间概念,向量的向量积。

    要求:了解空间直角坐标系,掌握两点间的距离公式。掌握向量概念:模、单位向量、方向余弦,特别是向量的坐标表示。掌握向量的数量积和向量积概念、坐标表示,掌握向量平行和垂直的判别条件。掌握平面的点法式方程和一般方程,会求点到平面的距离。掌握空间直线的标准方程、参数方程和一般方程,会进行方程间的互化。会用方向向量和法向量讨论平面之间、直线之间以及平面与直线之间的位置关系。知道球面、椭球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面的方程。

    多元函数微分学:多元函数,定义,二元函数的几何表示,二元函数的极限、连续介绍。偏导数与全微分:偏导数定义和求法,高阶偏导数,全微分及全微分存在定理的叙述,复合函数的(一阶)偏导数,隐函数的(一阶)偏导数。偏导数应用:空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,多元函数的极值及求法,条件极值与拉格朗日乘数法。重点:偏导数与全微分计算,多元函数的极值。难点:复合函数偏导数,多元函数的极值应用问题。

    要求:知道二元函数的定义和几何意义,会求二元函数的定义域。熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法。熟练掌握复合函数一阶偏导数的计算方法,会计算隐函数偏导数。能熟练地求全微分。会求曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线的方程。了解二元函数极值的概念,知道极值存在的必要条件,掌握用拉格朗日乘数法求较简单的极值应用问题。

    多元函数积分学:重积分:二重积分的定义,几何意义、性质及计算。二重积分的应用:求立体的体积。重点:二重积分的计算。难点:二重积分化为累次积分。

    要求:知道二重积分的定义,了解二重积分的几何意义和性质。熟练掌握在直角坐标系下计算二重积分的方法。会在直角坐标系下交换积分次序。会在极坐标系下计算二重积分。掌握求曲顶柱体的体积,会求由曲面围成的空间区域的体积。

    学习途径/《高等数学》 编辑

    《高等数学》《高等数学》
    抓住微积分,它是高数的核心,理解好导数和积分的含义。高等数学,是某些自考专业的重要课程。但对于如何通过考试,如何学好这门课程,许多人都是百展莫愁,头痛不已。而高数及格率又是所有科目中及格率最低的几门之一,成为许多考生能否顺利完成专业课程的主要障碍。

    数学,是一门深奥而又有趣的课程。如果增加对这门课程的自信心,不要畏惧它,会很容易接受这门课,也会发觉其实这门课程并不难,这对于学好数学是一个非常必要的条件。培根说,“数学是科学的大门和钥匙。”的确,数学是科学技术的基础。高等数学与应用数学(包括线性代数、概率论与数理统计、复变函数、数学物理方程,等等)是各专业的重要基础理论课。在会计专业里,比如财务成本管理,审计,评估,管理会计,……等等科目里都有高等数学的影子;在经济学领域里,更是如此。无论微观经济还是宏观经济的经典理论里都有高等数学的烙印。大凡经济学大家们,数学功底都极深。比如,约翰·纳什,萨缪尔逊、中国的茅于轼等都是数学家或者有相当深厚的数学功底。即使是有些敌视数理经济学的张五常,也免不了要创造一个“张式数学”来加强论文说服力和逻辑性。

    数学学科的特点是高度的抽象理论与严密的逻辑推理,要通过学习数学提高抽象思维能力,逻辑推理能力,数学运算能力以及应用数学解决实际问题的能力。任何一门数学课的内容都是由基本概念(定义)、基本理论(性质与定理)、基本运算(计算)及应用四部分组成,要学好数学就要在这四个部分上认真钻研刻苦努力,多下功夫。

    基本概念要清楚,要读懂,要理解透彻、叙述准确,不能似是而非、一知半解。数学的推理完全靠基本概念,基本概念不清楚,很多内容就学不懂,无法掌握和运用。例如,线性代数中向量组的线性相关性、线性无关性,向量组的秩与极大无关组,矩阵的相似对角形等,初学者往往掌握不深不透,这就要通过复习与作习题的过程中逐步深入、反复思考、彻底读懂。

    基本理论是数学推理论证的核心,是由一些概念、性质与定理组成的,有些定理并不要求每位初学者都会证明,但定理的条件和结论一定要清楚,要熟悉定理并学会使用定理,有些内容是必须牢记的。例如,矩阵的初等变换是线性代数的重要内容之一。求逆方阵、求矩阵的秩,解线性方程组等都离不开矩阵的初等变换,要懂得其中的道理,为什么可以用初等变换解决以上问题,理论依据是什么?是作初等行变换还是列变换。又如,线性方程组解的存在定理及解的结构定理,判断向量组线性相关与线性无关的有关定理,都是必须牢记的。在概率论的学习中,微积分知识对于理解概率统计的理论很重要。

    掌握数学概念和理论并学会运用主要靠作题,在读懂了内容后要作题,而且要作一定数量的题,才能不断加深对内容的理解,提高解题能力,熟才能生巧,捷径是没有的,“不作题等于没学数学”这是大家公认的事实。在解题过程中要不断总结思路和方法,掌握解题规律性,通过作题提高分析问题、解决问题的能力,也就是逐步提高数学素养。

    要学好数学就要认真对待学习的各个环节。首先是听课,听课要精神集中,如能预习效果会更好,要抓住教师讲课中对问题的分析,作好笔记,学会自己动手,边听边记,特别要记下没有听懂的部分。第二个环节是复习整理笔记及作题,课下结合教材和笔记进行复习,要对笔记进行整理按自己的思路,整理出这一次课的内容。在复习好并掌握了内容后再作习题,切忌边翻书边看例题,照猫画虎式地完成练习册上的习题,这样做是收不到任何效果的。要用作题来检验自己的学习,是真懂了还是没完全懂。对于没有彻底读懂的地方再反复思考,直到完全读懂。接着是阶段总结。每学完一章,自己要作总结。总结包括一章中的基本概念,核心内容;本章解决了什么问题,是怎样解决的;依靠哪些重要理论和结论,解决问题的思路是什么?理出条理,归纳出要点与核心内容以及自己对问题的理解和体会。

    最后是全课程的总结。在考试前要作总结,这个总结将全书内容加以整理概括,分析所学的内容,掌握各章之间的联系。这个总结很重要,是对全课程核心内容、重要理论与方法的综合整理。在总结的基础上,自己对全书内容要有更深一层的了解,要对一些稍有难度的题加以分析解决以检验自己对全部内容的掌握。

    若能把握住以上四个环节,真正做到认真学习,不放过一个疑难点,一定会学好数学。

     

    编辑推荐/《高等数学》 编辑

    《高等学校》是在第五版的基础上修订而成的。全书分上、下两册。《高等学校》为上册,内容包括:函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程等,书末还附有二、三阶行列式简介、几种常用的曲线、积分表、习题答案与提示。《高等学校》内容丰富,讲解通俗易懂,可作为高等院校各个专业学生的数学教材。 

    目录/《高等数学》 编辑

    第一章 函数与极限
    第一节 映射与函数
    第二节 数列的极限
    第三节 函数的极限
    第四节 无穷小与无穷大
    第五节 极限运算法则
    第六节 极限存在准则 两个重要极限
    第七节 无穷小的比较
    第八节 函数的连续性与间断点
    第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
    第十节 闭区间上连续函数的性质
    总习题
    第二章 导数与微分
    第一节 导数概念
    第二节 函数的求导法则
    第三节 高阶导数
    第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
    第五节 函数的微分
    总习题二
    第三章 微分中值定理与导数的应用
    第一节 微分中值定理
    第二节 洛必达法则
    第三节 泰勒公式
    第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
    第五节 函数的极值与最大值最小值
    第六节 函数图形的描绘
    第七节 曲率
    第八节 方程的近似解
    总习题三
    第四章 不定积分
    第一节 不定积分的概念与性质
    第二节 换元积分法
    第三节 分部积分法
    第四节 有理函数的积分
    第五节 积分表的合用
    总习题四
    第五章 定积分的应用 
    第一节 定积分的概念与性质
    第二节 微积分基本公式
    第三节 定积分的换元法和分部积分法
    第四节 反常积分
    第五节 反常积分的审敛法 г函数
    总习题五
    第七章 微分方程等
    第一节 定积分的元素法
    第二节 定积分在几何学上的应用
    第三节 定积分在物理学上的应用
    总习题六
    附录I 二阶和三阶行列式简介
    附录II 几种常用的曲线
    附录III 积分表
    习题答案与提示

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