三角函数
公元五世纪印度数学家提出的概念
条目
三角函数（Trigonometric functions），又叫圆函数、角函数或测角函数[2]，基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。[3][4]数学分析上，周期函数三角函数亦定义为无穷级数[a]或特定微分方程[b]的解，它们的取值是任意实数值，并允许将正弦函数和余弦函数的域扩展到整个复平面，也将其他三角函数的域延伸到复平面（从中删除一些孤立点），因此取值也可以是复数值。[6]
三角函数的早期研究可以追溯到古代，但现代使用的三角函数是在中世纪发展起来的。古巴比伦和古埃及人为了预测天体运行、制定历法和进行土地测量，积累了大量关于角度和边长关系的经验知识，公元前二世纪的喜帕恰斯制作了世界上第一张弦表，被认为是三角函数的雏形，后经托勒密进一步完善，首张弦表发表之后余弦表、正切表相继而出，十八世纪牛顿、欧拉等数学家对三角函数进行分析学上的研究，定义三角函数为无穷级数。[7][8][9][10]
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数[c]、余矢函数[d]、半正矢函数[e]、半余矢函数等其他的三角函数。其中，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个三角函数中的每一个都有一个相应的反函数（称为反三角函数）。[1][3][11]不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，三角函数之间可以相互换算，通常称为三角恒等式，包括诱导公式、二倍角公式、三倍角公式、降幂公式等。[1]
三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。[3][11]在数学中，还有一类与常见的三角函数（或圆函数）类似的函数，通常称为双曲函数（或类三角函数），最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinh和双曲余弦函数cosh，进而推导更多双曲函数。[12]