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    二次曲线,也称圆锥曲线或圆锥截线,是直圆锥面的两腔被一平面所截而得的曲线。当截面不通过锥面的顶点时,曲线可能是圆、椭圆、双曲线、抛物线。当截面通过锥面的顶点时,曲线退缩成一点、一直线或二相交直线。在截面上的直角坐标系(x,y)之下,这些曲线的方程是x,y的二元二次方程。

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    正文/二次曲线 编辑

       也称圆锥曲线或圆锥截线,是直圆锥面的两腔被一平面所截而得的曲线。当截面不通过锥面的顶点时,曲线可能是圆、椭圆、双曲线、抛物线。当截面通过锥面的顶点时,曲线退缩成一点、一直线或二相交直线。在截面上的直角坐标系(x,y)之下,这些曲线的方程是x,y二元二次方程二次曲线。若截面不通过锥面的顶点,令截面与锥面轴线所成的角为θ,锥面的半顶角为α,则当二次曲线时,所截曲线为圆;当二次曲线时,截面与锥面的所有母线都相交,所截曲线为椭圆;当θ=α时,截面与锥面的一条母线平行,所截曲线为抛物线;当0≤θ<α时,截面与锥面的两条母线平行,所截曲线为双曲线。
      焦点与准线  如果圆锥曲线不是圆,则在圆锥曲线所在的平面上存在一定点和一定直线,使得圆锥曲线上任何一点到该定点和定直线的距离之比为常数,这个定点称为圆锥曲线的焦点,定直线称为圆锥曲线的准线。为了得到焦点与准线,只需作一个球面内切于圆锥面并同时与圆锥曲线所在的平面σ相切。设球面与平面σ相切于点F,球面与圆锥面相切于一个圆,这个圆所在的平面为ωωσ相交于直线l,则点F,就是焦点,直线l就是准线(图1)。
    二次曲线二次曲线
     
    二次曲线二次曲线
    这时,圆锥曲线上任意一点P 到焦点F的距离|PF|与到准线l的距离|PD|之比为:二次曲线二次曲线。其中θ,α都与P在曲线上的位置无关,所以是常数。这个常数称为圆锥曲线的离心率,记为e。当截线是椭圆时,e<1;当截线是双曲线时,e>1;当截线是抛物线时,e=1。对于椭圆或双曲线,存在两个合于以上要求的球面,因此椭圆或双曲线都有两个焦点与两条准线。每个焦点与其相应的准线都有上述性质。抛物线只有一个焦点与一条准线。若椭圆的两个焦点为F1,F2。如图2所示的球面与圆锥面相切的圆为C1,C2。这时对于椭圆上任意一点P,令通过P的母线OPO为圆锥面的顶点)与C1、C2的交点分别为AB。则PF1的距离|PF1|与PF2的距离|PF2|之和为|PF1| |PF2|=|PA| |PB|=|AB|。这里|AB|是常数,它与点P在椭圆上的位置无关。这说明了椭圆焦点的一个重要性质,即椭圆上任何一点到两个焦点的距离之和为常数。类似地,关于双曲线的焦点有性质:双曲线上任何一点到两个焦点距离之差的绝对值为常数。
      圆锥曲线的定义  可以根据圆锥曲线的上述焦点、准线性质给出圆锥曲线的定义。三种圆锥曲线的统一定义是:在平面内,设动点到一定点F(称为焦点)与一定直线l(称为准线)的距离之比等于常数,根据此常数小于1、大于1或等于1,此动点的轨迹分别称为椭圆、双曲线或抛物线。如果分别定义,则为:在平面内,设动点到二定点(称为焦点)的距离之和等于常数,则此动点的轨迹称为椭圆;若动点到二定点(称为焦点)的距离之差的绝对值等于常数,则此动点的轨迹称为双曲线。抛物线仍定义为到一定点与一定直线距离相等的动点的轨迹。
      以上圆锥曲线的两种定义是等价的。
      圆锥曲线的方程  为了得到圆锥曲线的方程,必须选取适当的坐标系。通过圆锥面的轴并垂直于准线的平面与圆锥曲线所在平面相交于圆锥曲线的轴。圆锥曲线关于它的轴是对称的。从上面的考虑可知,椭圆和双曲线还必须关于二焦点连线F1F2的垂直平分线对称。这条垂直平分线与圆锥曲线的轴的交点就是圆锥曲线的中心C。因此对椭圆或双曲线而言,适当的坐标系是把圆锥曲线的轴作为x轴,而过中心C的垂线作为y轴的直角坐标系。还可以x轴同上面一样,而y轴是过一个顶点(轴与曲线的交点)的切线。还可以取圆锥曲线的轴作为极轴的零方向,而一个焦点作为极点的极坐标系(见坐标系),则对于三种圆锥曲线都是适合的。对于双曲线而言,还可以形成一个很自然的斜角坐标系,这个坐标系的轴就是相交于中心的两条渐近线。
      抛物线方程  取x轴为抛物线的轴,二次曲线y轴为过顶点的切线(图3),令抛物线的焦点与准线的距离为p(称为抛物线的半参数),则得到抛物线的顶点型方程

    二次曲线

    这时抛物线的焦点是

    二次曲线

    准线是

    二次曲线

    方程

    二次曲线
    二次曲线

    (其中p>0)也都表示抛物线。
      椭圆方程  取x轴与椭圆的轴一致,而y轴与两个顶点之间线段V1V2的垂直平分线一致(图4二次曲线)。y轴与椭圆相交于称为第二对顶点的两点W1W2。长度|V1V2|=2α叫做长轴,长度|W1W2|=2b叫做短轴;则得到椭圆的中心型方程 二次曲线。这时椭圆的焦点是F1(X,0),F2(-X,0),其中二次曲线,准线是二次曲线二次曲线,二次曲线,离心率二次曲线。方程二次曲线(α>b)也表示椭圆。
      双曲线方程  与椭圆类似地建立坐标系,可以得到双曲线的中心型方程二次曲线。双曲线没有短半轴,且只有两个顶点V1,V2(图5二次曲线)。长度|V1V2|=2α叫做实轴。 由于两个焦点之间的距离大于两个顶点间的距离,所以存在由二次曲线给出的正数b。2b叫做虚轴。双曲线的焦点是F1(X,0),F2(-X,0)。准线是二次曲线二次曲线,离心率二次曲线
      数b的意义可以从下面整理过的方程中看出:

    二次曲线
    二次曲线

    x二次曲线时,这个表达式的极限值是二次曲线,以这两极限值作为斜率的两条直线二次曲线就是双曲线的渐近线。只考虑第一象限的情况,从渐近线上的一点(ξ,η),其中ξ>α,向x轴作一垂线,它与双曲线相交于点P(x,y)。由于ξ=x,并且从二次曲线二次曲线y<η。由于从双曲线方程可以得出 二次曲线二次曲线,在x二次曲线时,二次曲线,所以二次曲线二次曲线,或者当x二次曲线时,二次曲线。由此得知x越大,则差 η-y越小。当x二次曲线时,双曲线任意地接近直线二次曲线。这条直线就是双曲线的渐近线。从直角边为αb及斜边为X的直角三角形可以求得它对x轴的倾角。如果把双曲线的两条渐近线作为坐标轴,则双曲线的方程是二次曲线常数。形如xy=常数(≠0)的任何函数都表示双曲线。与椭圆的情况类似,方程二次曲线也表示双曲线。
      方程的一般形式  通过以上圆锥曲线方程的建立,得知任何一种圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)关于直角坐标系的方程都是二元二次方程,因此圆锥曲线可以称为二次曲线。这一结论对于仿射坐标系也是成立的。反过来要说明二次曲线的各种可能情况,则需对一般二元二次方程进行讨论。两个变量xy的一般二次方程的形式是

    二次曲线

    式中α,b,с,d,e,ƒ是任意实数而且α,b,с不全是零。这个方程在直角坐标系里定义了一条曲线。可以用坐标变换的方法化简方程,从而认识这个方程所表示的曲线。化简的步骤是:首先通过坐标系的旋转消去混乘项 (xy项),旋转角θ的选取应满足二次曲线,这时方程化为形式:二次曲线。这意味着圆锥曲线的轴与坐标轴平行了。然后再通过坐标系的平移继续进行化简,平移公式是x′=xξy┡=yη(其中ξη 是常数)。这时方程化为形式:二次曲线二次曲线二次曲线,对于这个方程可以分为两种情况讨论:①如果A≠0且C≠0,选取二次曲线,二次曲线,则方程变为:二次曲线二次曲线。当N>0时,此方程所表示的曲线可能是椭圆,可能不存在实曲线,可能是双曲线。当N=0时,此方程所表示的曲线可能是一个点,可能是一对相交直线。当N<0时,可得到与N>0时相同的曲线。②如果AC=0,有三种可能性:当 A=0,C≠0时,若D≠0,选取ξ,η使得Cη K=0,Cη 2Dξ 2Kη F=0,则方程变为二次曲线二次曲线,曲线是一抛物线。若D=0,方程是关于y″的二次方程,因此表示一对平行直线。当A≠0,C=0时,得到与A=0,C≠0时相同的曲线。当A=C=0时,若DK不全是零,方程表示一直线。若D=K=0,则F也是零。综上所述,一般二元二次方程所表示的曲线可以是空集、一点、一条或两条直线,可以是圆锥曲线。对于方程αx 2bxy Xy 2dx 2ey ƒ=0,设

    二次曲线

    I2称为这个二次曲线的判别式。当I2≠0,I3≠0时,如果这个曲线不是空集,则为有心圆锥曲线。如果I2>0则为椭圆或空集。如果I2<0则为双曲线。当 I2=0,I3≠0时这个曲线为抛物线。当I3=0,I2>0时,曲线是一点;当I3=0,I2<0时,是两条相交直线;当I3=I2=0时,是空集、一条直线或两条平行直线。
      除坐标变换法以外,还可以利用二次曲线方程αx 2bxy Xy 2dx 2ey ƒ =0系数的一些函数来描述二次曲线。经过坐标变换后,方程的系数有所改变,但这些函数的值不变,这些函数称为二次曲线的不变量。用到的不变量有:

    二次曲线

    二次曲线

    其中K1只当I2=I3=0时才是不变的,称为半不变量。利用不变量可以确定二次曲线的形状,但不能确定曲线在平面里的位置。而通过坐标变换,根据新坐标系相对于旧坐标系的位置可以确定二次曲线的位置。关于二次曲线的标准方程,可以通过坐标变换得到,也可以通过上述不变量而得到。
      圆锥曲线的其他类型方程  对圆锥曲线还可以建立其他类型的方程,并可以从中看到几种圆锥曲线之间的联系。
      顶点型方程  首先定义圆锥曲线的参数。圆锥曲线的参数指的是通过焦点且垂直于主轴的弦长,根据这个定义,计算得抛物线y=2px的参数为2p,椭圆二次曲线二次曲线的参数为二次曲线。双曲线二次曲线的参数为二次曲线椭圆或双曲线的参数也可以记为2p,即对上述椭圆或双曲线,二次曲线二次曲线
      y=2px就是抛物线的顶点型方程。对于椭圆或双曲线,根据其中心型方程,进行适当的坐标变换,再引用离心率e,就得圆锥曲线的一个公共顶点型方程y=2px-(1-e)x。对于椭圆二次曲线,0<e<1;对于双曲线二次曲线;对于抛物线e=1。应该注意,圆的顶点型方程也包括在这个方程之内,令p=re=0,则得到y=2rx-x这正是圆的方程。
      极坐标方程  太阳系行星的运动或人造地球卫星的运动都是围绕一个引力中心(太阳或地球)的椭圆运动,对于这类运动,最自然并且最常用的坐标系是:以引力中心为极点,以运行平面上某一固定方向为极轴方向的极坐标系。在各种圆锥曲线里,取焦点为极点,取该焦点到与其相应的准线的方向为极轴方向,则可得到在极坐标系中所有圆锥曲线的相同形式的方程

    二次曲线

    在这个方程里,p为半参数,e为离心率,当 0<e<1,e>1,e=1时曲线分别为椭圆、双曲线、抛物线。如果e=0,r=p=常数,则曲线表示一个圆。
      对于抛物线(e=1)当,φ=π 时,r没有定义。对于圆或椭圆(e=0或0<e<1),任何φ都对应惟一r值。对于双曲线(e>1),当二次曲线时,即角φ终边与渐近线平行时,r没有定义。
      二级曲线与二阶曲线  曲线作为点的集合,在这个观点下,二次曲线也称为二阶曲线。曲线也可以作为直线的集合。直线 ux υy w=0的系数u,υ,w称为该直线的齐次坐标,坐标满足 二次曲线二次曲线,(其中αb、с、deƒ是实数且αb、с不全为零)的直线集合称为二级曲线。有时也把这个直线集合的包络曲线称为二级曲线。非退化二阶曲线的切线集合构成二级曲线,如果二阶曲线的方程是αx 2bxy сy+2dx+2eyƒ=0,则其切线构成的二级曲线方程是二次曲线 其中 AB、C、DKF分别是αb、с、deƒ二次曲线里的代数余子式
      二次曲线既可以看作二阶曲线也可以看作二级曲线。但对高次代数曲线,其阶数与级数不相同。
      从射影的观点来看,二阶曲线可以定义如下:两个不同中心SS′成射影对应的线束S(α1,α2,…)与S′(α二次曲线,α二次曲线,…)的对应直线的交点二次曲线的集合称为二阶曲线。而二级曲线则可以定义为两个不同底的成射影对应的点列的对应点的连线的集合。根据这种定义知:六个点 A1,A2,…,A6属于同一个二阶曲线的条件是:线束A1(A3,A4,A5,A6)与A2(A3,A4,A5,A6)成射影对应,对偶地可得六条直线属于同一个二级曲线的条件。
      参考书目
     G.Salmon,A treatise on conic Section, 6th ed., Chelsea,New York,1962.
      孙泽瀛著,《解析几何学》,高等教育出版社,北京,1958。

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