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  • 交换图表

    在数学领域,尤其是范畴论中,通常使用以对象为顶点、态射为边的交换图表来直观的表达一些性质,尤其是泛性质。

    在图表中,复合连接任意两个对象的不同路径上的态射,所得的结果均相等,则称此图表可交换。同时,按照惯例,实线通常表示任意给定的态射,虚线则表示存在或唯一存在的态射。

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    简介/交换图表 编辑

    在数学领域,尤其是范畴论中,通常使用以对象为顶点、态射为边的 交换图表来直观的表达一些性质,尤其是泛性质。

    在图表中,复合连接任意两个对象的不同路径上的态射,所得的结果均相等,则称此图表 可交换。同时,按照惯例,实线通常表示任意给定的态射,虚线则表示存在或唯一存在的态射。 [1]

    范畴论/交换图表 编辑

    范畴论是数学的一门学科,以抽象的方法来处理数学概念,将这些概念形式化成一组组的“物件”及“态射”。数学中许多重要的领域可以形式化成范畴,并且使用范畴论,令在这些领域中许多难理解、难捉摸的数学结论可以比没有使用范畴还会更容易叙述及证明。

    范畴最容易理解的一个例子为集合范畴,其物件为集合,态射为集合间的函数。但需注意,范畴的物件不一定要是集合,态射也不一定要是函数;一个数学概念若可以找到一种方法,以符合物件及态射的定义,则可形成一个有效的范畴,且所有在范畴论中导出的结论都可应用在这个数学概念之上。

    范畴最简单的例子之一为广群,其态射皆为可逆的。群胚的概念在拓扑学中很重要。范畴现在在大部分的数学分支中都有出现,在理论计算机科学的某些领域中用于对应资料型别,而在数学物理中被用来描述向量空间。

    范畴论不只是对研究范畴论的人有意义,对其他数学家而言也有着其他的意思。一个可追溯至1940年代的述语“一般化的抽象废话”,即被用来指范畴论那相对于其他传统的数学分支更高阶的抽象化。 [1]

    态射/交换图表 编辑

    数学上, 态射(morphism)是两个数学结构之间保持结构的一种过程抽象。

    最常见的这种过程的例子是在某种意义上保持结构的函数或映射。例如,在集合论中,态射就是函数;在群论中,它们是群同态;而在拓扑学中,它们是连续函数;在泛代数(universal algebra)的范围,态射通常就是同态。

    对态射和它们定义于其间的结构(或对象)的抽象研究构成了范畴论的一部分。在范畴论中,态射不必是函数,而通常被视为两个对象(不必是集合)间的 箭头。不像映射一个集合的元素到另外一个集合,它们只是表示域(domain)和陪域(codomain)间的某种关系。

    尽管态射的本质是抽象的,多数人关于它们的直观(事实上包括大部分术语)来自于具体范畴的例子,在那里对象就是有附加结构的集合而态射就是保持这种结构的函数。 [1]

    泛性质/交换图表 编辑

    在数学的很多分支,经常用“在给定某些条件下存在唯一态射”这种形式的性质来定义一些构造。这种性质统称为 泛性质(英语:Universal property),有时也称为 万有性。范畴论研究泛性质。 [1]

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    参考资料
    [1]^引用日期:2019-05-22

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