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  • 勾股定理

    勾股定理是一个基本的几何定理,在中国,《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明,相传是在商代由商高发现,故又有称之为商高定理;三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释,又给出了另外一个证明。直角三角形两直角边(即“勾”,“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说,设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a²+b²=c² 。勾股定理现发现约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股数组成a²+b²=c²的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。勾股定理说明,平面上的直角三角形的两条直角边的长度(古称勾长、股长)的平方和等于斜边长(古称弦长)的平方。反之,若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方,则它是直角三角形(直角所对的边是第三边)。勾股定理是一个初等几何定理,是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。“勾三,股四,弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。当整数a,b,c满足a²+b²=c²这个条件时,(a,b,c)叫做勾股数组。

    编辑摘要

    基本信息 编辑信息模块

    外文名: Pythagorean theorem
    别 名: 毕达哥拉斯定理、毕氏定理 学 科: 平面几何
    最早发现国家: 中国 等级划分: 初中数学

    目录

    简介/勾股定理 编辑

    勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。

    中国是世界上最早发现证明并运用勾股定理的国家,在中国算学中勾股定理为重中之重。《周髀算经》中记述周公问数商高段中,就有证明该定理的方法。传说古希腊发现勾股定理的是毕达哥拉斯,所以勾股定理又称毕达哥拉斯定理,但这个说法没有任何证据。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后,即斩了百头牛作庆祝(百牛大祭),更是荒唐可笑,众所周知,毕达哥拉斯派食素。

    定理/勾股定理 编辑

     在平面上的一个直角三角形中,两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b,斜边长度是c,那么可以用数学语言表达:

    0

    勾股定理是余弦定理中的一个特例。勾股定理现约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。

    其他形式/勾股定理 编辑

    如果c是斜边的长度而a和b是另外两条边的长度,勾股定理可以写成:

    0

    如果a和b知道,c可以这样写:

    0

     如果斜边的长度c和其中一条边(a或b)知道, 那另一边的长度可以这样计算:

     

    0

    0

    勾股数组/勾股定理 编辑

    勾股数组是满足勾股定理的正整数组(a、b、c),其中的(a、b、c)称为勾股数。

    历史/勾股定理 编辑

    这个定理的历史可以被分成三个部份:发现勾股数、发现直角三角形中边长的关系、及其定理的证明。

    勾股数

    勾股数出现得较早,例如埃及的纸草书里面就有(3,4,5)这一组勾股数,而巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是(18541, 12709,13500)。后来的中国的算经、印度与阿拉伯的数学书也有记载。相传是在公元前11世纪商代由商高发现,故又有称之为商高定理;商高答周公问曰:“勾广三,股备四,径隅五”;三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释:“勾股个自乘,并之,为弦实,开方除之,即弦”。《九章算术》卷第九《句股》章详细讨论了勾股定理的运用,魏国数学家刘徽反复运用勾股定理求圆周率。
     
    金朝数学家李冶的《测圆海镜》通过勾股容圆图式的十五个勾股形和直径的关系,建立了系统的天元术,推导出692条关于勾股形的各边的公式,其中用到了多组勾股数作为例子。

    普遍定理的发现

    巴比伦人得到的勾股数的数量和质量不太可能纯从测量手段获得。之后的毕达哥拉斯本人并无著作传世,不过在他死后一千年,第五世纪的普罗克勒斯给欧几里德的名著《几何原本》做注解时将最早的发现和证明归功于毕达哥拉斯学派:

    如果我们听听那些喜欢说古代历史的人,他们把这个定理归于毕达哥拉斯,并且说他杀了一头公牛来庆祝。对我来说,虽然我欣赏那个第一个观察到这个定理的人,我更 叹服《原本》的作者。不光是因为他给出了清晰明确的证明,而且还因为他用无可置疑的方法在第六篇中证明了一个更一般的命题。  

    普鲁塔克和西塞罗也将发现的功劳归于毕达哥拉斯。

    在中国,秦朝的算数书并未记载勾股定理,只是记录了一些勾股数,定理首次载于书面是在汉朝的《周髀算经》“荣方问于陈子”一节中:

    若求邪至日者,以日下为句,日高为股,句股各自乘,并而开方除之,得邪至日
                                                                                                       ——周髀算经 卷上之二  

    因此有些人将这个定理称之为陈子定理。赵爽《勾股方圆图注》记载:

    勾股各自乘,并之,为弦实,开方除之,即弦  

    在《九章算术》刘徽著中,刘徽反复利用勾股定理求圆周率。

    直至现时为止,有许多辩论关于勾股定理是否早已不只一次被发现。

    证明

    毕达哥拉斯学派的证明没有流传下来,流传下来的勾股定理的书面证明最早见于几何原本第一册的第47个命题。在中国,三国时吴国的赵爽最早给出勾股定理的证明。最近,巴勒蒂·克尔什纳·蒂尔特吉在吠陀数学一书中声称古代印度教吠陀证明了勾股定理。

    证明/勾股定理 编辑

    这个定理有许多证明的方法,其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的 Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。

    有人会尝试以三角恒等式(例如:正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理,但是,因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理,所以不能作为勾股定理的证明。

    利用相似三角形的证法

    有许多勾股定理的证明方式,都是基于相似三角形中两边长的比例。

    设ABC为一直角三角形, 直角于角C(看附图)。 从点C画上三角形的高,并将此高与AB的交叉点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似,因为在两个三角形中都有一个直角(这又是由于“高”的定义),而两个三角形都有A这个共同角,由此可知第三只角都是相等的。同样道理,三角形CBH和三角形ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系:

    0
      
    相似三角形的证法相似三角形的证法
      

    欧几里得的证法

    
《几何原本》中的证明 《几何原本》中的证明

    欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。 设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。
     
    在定理的证明中,我们需要如下四个辅助定理:
     如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理)
     三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
     任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
     任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。
     
    证明的思路为:把上方的两个正方形,透过等高同底的三角形,以其面积关系,转换成下方两个同等面积的长方形。

    其证明如下:

    
证明辅助图2 证明辅助图2

    1.设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB。
     2.其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
     3.画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。
     4.分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA。
     5.∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H。
     6.∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC。
     7.因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC。
     8.因为 A 与 K 和 L在同一直线上,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。
     9.因为C、A和G在同一直线上,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。
     10.因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。
     11.同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC²。
     12.把这两个结果相加, AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC
     13.由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC
     14.由于CBDE是个正方形,因此AB² + AC² = BC²。
     
    此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

    由于这个定理的证明依赖于平行公理,而且从这个定理可以推出平行公理,很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件,一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。

    图形重新排列证法

    此证明以图形重新排列证明。两个大正方形的面积皆为(a+b)²,把四个相等的三角形移除后,左方余下面积为a²+b²,右方余下面积为c²,两者相等。证毕。

    逆定理/勾股定理 编辑

    勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法,其中AB=c为最长边:

    如果 A²+ B² =C²,则△ABC是直角三角形。
     如果A²+ B² >C²,则△ABC是锐角三角形(若无先前条件AB=c为最长边,则该式的成立仅满足∠C是锐角)。
     如果A²+ B² <C²,则△ABC是钝角三角形。
    (这个逆定理其实只是余弦定理的一个延伸)

    逆定理的证明

    勾股定理的逆定理的证法数明显少于勾股定理的证法。以下是一些常见证法。

    同一法

    同一法

    余弦定理

    相似三角形

    相似三角形

    非欧几何

    勾股定理是由欧几里得几何的公理推导出来的,其在非欧几里得几何中是不成立的。因为勾股定理的成立涉及到了平行公理。

    勾股数通式和常见勾股素数/勾股定理 编辑

    若 m 和 n 是互质,而且 m 和 n 至少有一个是偶数,计算出来的 a, b, c 就是素勾股数。(若 m 和 n 都是奇数, a, b, c 就会全是偶数,不符合互质。)
    所有素勾股数(不是所有勾股数)都可用上述列式当中找出,这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。

    常见的勾股数及几种通式/勾股定理 编辑

    (1) (3, 4, 5), (6, 8,10) … …

    3n,4n,5n (n是正整数)

    (2) (5,12,13) ,( 7,24,25), ( 9,40,41) … …

    2n + 1, 2n^2 + 2n, 2n^2 + 2n + 1 (n是正整数)

    (3) (8,15,17), (12,35,37) … …

    2^2*(n+1),[2(n+1)]^2-1,[2(n+1)]^2+1 (n是正整数)

    (4)m^2-n^2,2mn,m^2+n^2 (m、n均是正整数,m>n)

    生活应用/勾股定理 编辑

    勾股定理在生活中的应用也较广泛,举例说明如下:

    1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例,最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积,从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕,也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点:

    第一,屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6;

    第二,屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度;

    第三,屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。

    屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3,教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕,根据勾股定理,很快就能得出屏幕的宽为1.5m,高为1.1m。

    2、2005年珠峰高度复测行动。

    测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法,就是把高程引到珠峰脚下,当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时,通过在峰顶竖立的测量觇标,运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程,配合水准测量、三角测量、导线测量等方式,获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算,最终得到珠峰高程的有效数据。

    通俗来说,就是分三步走:

    第一步,先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点,先把这些点的精确高程确定下来;

    第二步,在珠峰峰顶架起觇标,运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理,推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差;

    第三步,获得的高程数据要进行重力、大气等多方面[4]的改正计算,最终确定珠峰高程测量的有效数据。

    练习题/勾股定理 编辑

    1.等边三角形的高是h,则它的面积是( )

     A. h2      B. h2     C. h2     D. h2
    2.直角三角形的周长为12cm,斜边长为5cm,其面积为( )

    A. 12cm2 B. 10cm 2 C. 8cm2 D. 6cm2

    3.下列命题是真命题的个数有( )

    ①直角三角形的最大边长为 ,短边长为1,则另一条边长为

    ②已知直角三角形的面积为2,两直角边的比为1:2,则它的斜边长为

    ③在直角三角形中,若两条直角边长为n2−1和2n,则斜边长为n2+1

    ④等腰三角形面积为12,底边上的高为4,则腰长为5

    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

    参考答案/勾股定理 编辑

    1.B

    2.D

    3.D

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