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  • 圆形”是“圆[一种几何图形]”的同义词。

    ”是个多义词,全部含义如下:

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    圆[一种几何图形]

    在一个平面内,一动点以一定点为中心,以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。圆有无数个点。

    在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。圆可以表示为集合{M||MO|=r},圆的标准方程是(x - a) ² + (y - b) ² = r ²。其中,o是圆心,r 是半径。

    圆形是一种圆锥曲线,由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。

    圆是一种几何图形。根据定义,通常用圆规来画圆。 同圆内圆的直径、半径长度永远相同,圆有无数条半径和无数条直径。圆是轴对称、中心对称图形。对称轴是直径所在的直线。 同时,圆又是“正无限多边形”,而“无限”只是一个概念。当多边形的边数越多时,其形状、周长、面积就都越接近于圆。所以,世界上没有真正的圆,圆实际上只是概念性的图形。

    编辑摘要

    目录

    圆的定义/圆[一种几何图形] 编辑

    第一定义

    在同一平面内到定点的距离等于定长的点的 集合叫做 circle。这个定点叫做圆的 圆心

    圆形一周的长度,就是圆的 周长。能够重合的两个圆叫 等圆,等圆有无数条对称轴。

    圆是一个正n边形(n为无限大的正整数),边长无限接近0但永远无法等于0。

    第二定义

    平面内一动点到两定点的距离之比(或距离的平方之比),等于一个不为1的常数,则此动点的轨迹是圆。

    证明:点坐标为(x,y)与(x,y),动点为(x,y),距离比为k,由两点距离公式。满足方程(x-x)+ (y-y)= k×[ (x-x)+ (y-y)] 当k不为1时,整理得到一个圆的方程。

    几何法:假设定点为A,B,动点为P,满足|PA|/|PB| = k(k≠1),过P点作角APB的内、外角平分线,交AB与AB的延长线于C,D两点由角平分线性质,角CPD=90°。由角平分线定理:PA/PB = AC/BC = AD/BD =k,注意到唯一k确定了C和D的位置,C在线段AB内,D在AB延长线上,对于所有的P,P在以CD为直径的圆上。

    相关特点/圆[一种几何图形] 编辑

    1.连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做 半径,字母表示为rradius

    2.通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做 ,字母表示为ddiameter)。直径所在的直线是圆的对称轴。

    圆的直径 d=2r

    1.连接圆上任意两点的线段叫做 chord).在同一个圆内最长的弦是直径。直径所在的直线是圆的对称轴,因此,圆的对称轴有无数条。

    1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧(arc)以“⌒”表示。
    2.大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧所以半圆既不是优弧,也不是劣弧。优弧一般用三个字母表示,劣弧一般用两个字母表示。优弧是所对圆心角大于180度的弧,劣弧是所对圆心角小于180度的弧。

    3.在同圆或等圆中,能够互相重合的两条弧叫做 等弧。

    1.顶点在圆心上的角叫做 圆心角(central angle)。

    2. 顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做 圆周角。圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。

    圆周率

    圆[一种几何图形] 圆[一种几何图形]

    圆周长度与圆的直径长度的比值叫做 圆周率。它是一个无限不循环小数,通常用字母 表示,

    圆[一种几何图形] 圆[一种几何图形]

    ≈3.141592657......计算时通常取近似值3.14。我们可以说圆的周长是直径的π倍,或大约3.14倍,不能直接说圆的周长是直径的3.14倍。

    1.由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做 弓形

    2. 由圆心角的两条半径和圆心角所对应的一段弧围成的图形叫做 扇形sector)。

    表示方式/圆[一种几何图形] 编辑

    圆—⊙ ;半径—rR(在环形圆中外环半径表示的字母);圆心—O;弧—⌒;直径—d

    扇形弧长—L ; 周长—C ; 面积—S

    计算公式/圆[一种几何图形] 编辑

    圆的周长公式

    圆[一种几何图形] 圆[一种几何图形]

    圆的周长: 圆周长的一半 c=πr

    半圆的周长 c=πr+2r

    圆的周长公式推导(此方面涉及到弧微分)

    圆[一种几何图形] 圆[一种几何图形]
    圆[一种几何图形] 圆[一种几何图形]

    设圆的参数方程为,
    圆在一周内周长的积分

    圆[一种几何图形] 圆[一种几何图形]

    代入,可得

    圆[一种几何图形] 圆[一种几何图形]
    圆[一种几何图形] 圆[一种几何图形]
    圆[一种几何图形] 圆[一种几何图形]
    圆[一种几何图形] 圆[一种几何图形]


    圆的面积公式

    圆[一种几何图形] 圆[一种几何图形]
    圆[一种几何图形] 圆[一种几何图形]
    圆[一种几何图形] 圆[一种几何图形]
    圆[一种几何图形] 圆[一种几何图形]

    圆的面积计算公式: 或 或 圆的面积求直径:

    把圆分成若干等份,可以拼成一个近似的长方形。长方形的宽相当于圆的半径。

    圆[一种几何图形] 圆[一种几何图形]

    圆锥侧面积 (l为母线长)

    弧长角度公式

    扇形弧长L=圆心角(弧度制)×R= nπR/180(θ为圆心角)(R为扇形半径)

    扇形面积S=nπ R²/360=LR/2(L为扇形的弧长)

    圆锥底面半径 r=nR/360(r为底面半径)(n为圆心角)

    扇形面积公式

    R是扇形半径,n是弧所对圆心角度数,π是圆周率,L是扇形对应的弧长。

    也可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n,如下:

    (L为弧长,R为扇形半径)

    推导过程:S=πr²×L/2πr=LR/2

    (L=│α│·R)

    位置关系/圆[一种几何图形] 编辑

    点和圆位置关系

    ①P在圆O外,则 PO>r。

    ②P在圆O上,则 PO=r。

    ③P在圆O内,则 PO<r。

    反之亦然。

    平面内,点P(x,y)与圆(x-a)²+(y-b)²=r²的位置关系判断一般方法是:

    ①如果(x-a)²+(y-b)²<r²,则P在圆内。

    ②如果(x-a)²+(y-b)²=r²,则P在圆上。

    ③如果(x-a)²+(y-b)²>r²,则P在圆外。

    直线和圆位置关系

    ①直线和圆无公共点,称相离。 AB与圆O相离,d>r。

    ②直线和圆有两个公共点,称相交,这条直线叫做圆的 割线。AB与⊙O相交,d<r。

    ③直线和圆有且只有一公共点,称相切,这条直线叫做圆的 切线,这个唯一的公共点叫做 切点。圆心与切点的连线垂直于切线。AB与⊙O相切,d=r。(d为圆心到直线的距离)

    平面内,直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是:

    1.由Ax+By+C=0,可得y=(-C-Ax)/B,(其中B不等于0),代入x²+y²+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的方程

    如果b-4ac>0,则圆与直线有2个公共点,即圆与直线相交。

    如果b-4ac=0,则圆与直线有1个公共点,即圆与直线相切。

    如果b-4ac<0,则圆与直线有无公共点,即圆与直线相离。

    2.如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A,它平行于y轴(或垂直于x轴),将x²+y²+Dx+Ey+F=0化为(x-a)²+(y-b)²=r²,令y=b,求出此时的两个x值x、x,并且规定x<x,那么:

    当x=-C/A<x或x=-C/A>x时,直线与圆相离;

    当x<x=-C/A<x时,直线与圆相交。

    圆和圆位置关系

    ①无公共点,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含。

    ②有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切。

    ③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

    设两圆的半径分别为R和r,且R〉r,圆心距为P,则结论:外离P>R+r;外切P=R+r;内含P<R-r;

    内切P=R-r;相交R-r<P<R+r。

    圆的性质/圆[一种几何图形] 编辑

    ⑴圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。

    垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的2条弧。

    垂径定理的逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的2条弧。

    ⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理

    ① 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角,两组弧,两条弦,两条弦心距中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

    ②在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(圆周角与圆心角在弦的同侧)。

    直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

    圆心角计算公式: θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。

    即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

    ③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍,那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

    ⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理

    ①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点距离相等;

    ②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形三边距离相等。

    ③R=2S△÷L(R:内切圆半径,S:三角形面积,L:三角形周长)。

    ④两相切圆的连心线过切点。(连心线:两个圆心相连的直线)

    ⑤圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AC与BD分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点。

    (4)如果两圆相交,那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。

    (5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

    (6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

    (7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

    (8)周长相等,圆面积比正方形、长方形、三角形的面积大。

    相关定理/圆[一种几何图形] 编辑

    切线定理

    圆[一种几何图形] 圆[一种几何图形]

    垂直于过切点的半径;经过半径的外端点,并且垂直于这条半径的直线,是这个圆的切线。

    切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

    切线的性质:

    (1)经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。

    (2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

    (3)圆的切线垂直于经过切点的半径。

    切线长定理

    从圆外一点到圆的两条切线的长相等,那点与圆心的连线平分切线的夹角。

    以下简述切线长定理的证明。

    欲证AC =AB,只需证△ABO≌ △ACO

    OCOB为圆的两条半径,又∠ABO = ∠ACO=90°

    在Rt△ABO和Rt△ACO

    ∴Rt△ABO ≌ Rt△ACO(H.L)

    AB=AC,且∠AOB=∠AOC,且∠OAB=∠OAC

    切割线定理

    切割线定理的证明:

    圆的一条切线与一条割线相交于p点,切线交圆于C点,割线交圆于A B两点 , 则有pC^2=pA·pB

    设ABP是⊙O的一条割线,PT是⊙O的一条切线,切点为T,则PT²=PA·PB

    证明:连接AT, BT

    ∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)

    ∠APT=∠TPB(公共角)

    ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)

    则PB:PT=PT:AP

    即:PT²=PB·PA

    割线定理

    割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

    一条直线与一条弧线有两个公共点,我们就说这条直线是这条曲线的割线。

    与割线有关的定理有:割线定理、切割线定理。常运用于有关于圆的题中。

    与切割线定理相似:两条割线交于p点,割线m交圆于A1 B1两点,割线n交圆于A2 B2两点,则pA1·pB1=pA2·pB2。

    如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线,求证:PA·PB=PC·PD

    圆[一种几何图形] 圆[一种几何图形]

    证明:连接AD、BC∵∠A和

    ∠C都对弧BD

    ∴由圆周角定理,得 ∠DAP=∠BCP

    又∵∠P=∠P

    ∴△ADP∽△CBP

    (如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。)

    ∴AP:CP=DP:BP

    即AP·BP=CP·DP

    垂径定理

    垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。

    设在⊙O中,DC为直径, AB是弦,AB⊥DC于点E,AB、CD交于E,求证:AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD= 弧BD

    连接OA、OB分别交⊙O于点A、点B

    ∵OA、OB是⊙O的半径

    ∴OA=OB

    ∴△OAB是等腰三角形

    ∵AB⊥DC

    ∴AE=BE,∠AOE=∠BOE(等腰三角形三线合一)

    ∴弧AD=弧BD,∠AOC=∠BOC

    ∴弧AC=弧BC

    弦切角定理

    弦切角等于对应的圆周角。(弦切角就是切线与弦所夹的角)

    已知:直线PT切圆O于点C,BC、AC为圆O的弦。

    求证:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

    证明:设圆心为O,连接OC,OB,。

    ∵∠OCB=∠OBC

    ∴∠OCB=1/2*(180°-∠BOC)

    又∵∠BOC=2∠BAC

    ∴∠OCB=90°-∠BAC

    ∴∠BAC=90°-∠OCB

    又∵∠TCB=90°-∠OCB

    ∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

    综上所述:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

    圆的方程/圆[一种几何图形] 编辑

    1、 圆的标准方程

    在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是(x-a)+(y-b)=r。

    特别地,以原点为圆心,半径为r(r>0)的圆的标准方程为x+y=r。

    2、 圆的一般方程

    方程x+y+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)+(y+E/2)=(D+E-4F)/4.故有:

    圆[一种几何图形] 圆[一种几何图形]

    (1)当D+E-4F>0时,方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心,以 为半径的圆;

    (2)当D+E-4F=0时,方程表示一个点(-D/2,-E/2);

    (3)当D+E-4F<0时,方程不表示任何图形。

    3、 圆的参数方程

    以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r·cosθ, y=b+r·sinθ, (其中θ为参数)

    圆的端点式

    若已知两点A(a,b),B(a,b),则以线段AB为直径的圆的方程为 (x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=0

    圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r。

    经过圆 x+y=r上一点M(a,b)的切线方程为 a·x+b·y=r

    在圆(x+y=r)外一点M(a,b)引该圆的两条切线,且两切点为A,B,则A,B两点所在直线的方程也为 a·x+b·y=r。

    4、 圆的三点式方程:过不共线的三点A(x,y),B(x,y),C(x,y)的圆的方程为

    圆的三点式方程 圆的三点式方程

    绘制方式/圆[一种几何图形] 编辑

    一般情况下可用圆规画出圆形,或用一段绳子,一头固定在地上,一头转,就能转出圆,绳子越长,圆越大。

    用AutoCAD绘圆

    在AutoCAD“绘图”下拉菜单中,列出了6种“圆”的绘制方法,简述如下:

    (1)利用圆心和半径绘圆:用鼠标点取绘图命令,然后根据提示操作;

    (2)利用圆心和直径绘圆:用鼠标点取绘图命令,然后根据提示操作;

    (3)以两点确定直径绘圆:用鼠标点取绘图命令,然后根据提示操作;

    (4)以三点确定直径绘圆:用鼠标点取绘图命令,然后根据提示操作;

    (5)以确定半径与两个图形对象相切绘圆:用鼠标点取绘图命令,然后根据提示操作。

    richtext控件绘圆

    定义一个数组,该数组用来存储一个或多个坐标(Point)

    然后按照以下步骤来实现

    1 生成一个控件(如Label),并调整相应的属性

    2 在内存中建立一张临时的图像作为画布,使用GDI+等各种绘图,将图像绘制到画布上

    3 将生成的控件Image或BackGroundImage属性值设定为步骤2生成的图像

    4 使用RichTextBox1.Controls.Add方法,将控件添加进去(您可以指定它的坐标)

    5 将当前已经添加的控件的坐标记录在数组中(如对应第1个数据)

    6 添加RichTextBox1.Scroll事件代码,在该代码中,

    圆

    过获取滚动条的值来计算已添加控件应该所在的位置

    说明:控件可以通过代码生成(推荐)

    该方法与网上流传的QQ聊天窗口内RichTextBox方法不同,

    属于简单型

    您务必要定义一个数组,用来参与ScrollBar滚动时,将目标控件重新定位

    历史介绍/圆[一种几何图形] 编辑

    圆形,是一个看来简单,实际上是十分奇妙的形状。古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔,那些孔有的就很像圆。到了陶器时代,许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线,又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候,就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走,这样当然比扛着走省劲得多。

    约在6000年前,美索不达米亚人,做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。大约在4000多年前,人们将圆的木盘固定在木架下,这就成了最初的车子。

    会作圆,但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为:圆,是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子(约公元前468-前376年)才给圆下了一个定义:圆,一中同长也。意思是说:圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得(约公元前330-前275年)给圆下定义要早100年。

    任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率,用字母π表示。它是一个无限不循环小数,π=3.1415926535……但在实际运用中一般只取它的近似值,即π≈3.14.如果用C表示圆的周长:C=πd或C=2πr.《周髀算经》上说"周三径一",把圆周率看成3,但是这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候,也只知道圆周率是3。魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注时,发现"周三径一"只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术,认为圆内接正多连形边数无限增加时,周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的圆周率,π= 3927/1250。刘徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中,这在世界数学史上也是一项重大的成就。祖冲之(公元429-500年)在前人的计算基础上继续推算,求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间,是世界上最早的七位小数精确值,他还用两个分数值来表示圆周率:22/7称为约率,355/113称为密率。 在欧洲,直到1000年后的十六世纪,德国人鄂图(公元1573年)和安托尼兹才得到这个数值。如今有了电子计算机,圆周率已经算到了小数点后五万亿位小数了。

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