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  • 对偶式

    在逻辑代数中的对偶式:如果将逻辑函数表达式F中所有的“·”变成“+”,“+”变成“·”,“0”变成“1”,“1”变成“0”,并保持原函数中的运算顺序不变,则所得到的新的逻辑表达式称为函数F的对偶式,并记作F'。例如,F=AB+B(C+0)F'=(A+B)(B+C·1),从例子可以看出,如果F的对偶式是F',则F'的对偶式就是F。即,F和F'互为对偶式。

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    对偶式定理/对偶式 编辑

    在命题逻辑中的对偶式:在仅含有联结词与(∧)、或(∨)、非(┐)的命题公式A中,将∨换成∧,∧换成∨,若A中还含有0或1,则还需将其中的0换成1,1换成0,,所得到的新命题公式A*就是A的对偶式。例如,命题公式A=┐(P∧0)的对偶式A*=┐(P∨1)。

    定理1:A和A*是互为对偶式,P,P2,...,Pn是出现在A和A*的原子变元,则 ┐A(P,...,Pn) <=> A*┐P,...┐Pn); A(┐P,...Pn) <=> ┐A*(P,...,Pn);即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。例子:De Morgan定律 ┐(P∧Q)=┐P∨┐Q。

    定理2: 设A*,B*分别是A和B的对偶式,如果A<=>B,则A*<=>B*。这就是对偶原理。如果证明了一个等值公式,其对偶式的等值同时也立。可以起到事半功倍的效果。

    在离散数学中,任一命题公式的 主析取范式和它的 主合取范式互为 对偶式。

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