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  • 对偶空间

    在数学里,任何向量空间V都有其对应的对偶向量空间(或简称为对偶空间),由V的线性泛函组成。此对偶空间俱有一般向量空间的结构,像是向量加法及标量乘法。由此定义的对偶空间也可称之为代数对偶空间。在拓扑向量空间的情况下,由连续的线性泛函组成的对偶空间则称之为连续对偶空间。 对偶空间是行向量(1×n)与列向量(n×1)的关系的抽象化。这个结构能够在无限维度空间进行并为测度,分布及希尔伯特空间提供重要的观点。对偶空间的应用是泛函分析理论的特征。傅立叶变换亦内蕴对偶空间的概念。

    编辑摘要

    基本信息 编辑信息模块

    中文名: 对偶空间 英文名: Dual Vector Space
    定义: 行向量与列向量的关系的抽象化
    应用学科: 数学等 适用领域范围: 泛函分析
    相关术语: 线性函数

    目录

    简介/对偶空间 编辑

    对偶空间构造能够在无限维度空间进行并为测度,分布及希尔伯特空间提供重要的观点。 对偶空间的应用是泛函分析理论的一特征。 傅立叶变换亦内蕴对偶空间的概念。

    定义/对偶空间 编辑

    线性函数

    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间

    设V为域F上的向量空间,定义V上的 线性函数是从V到F的映射 ,且满足 , 有: , 。

    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间

    考虑V上所有线性函数的集合 。对 , , ,可以在 上定义如下 标量乘法加法:  

    对偶空间 对偶空间

    标量乘法:

    对偶空间 对偶空间

    加法:

    对偶空间 对偶空间

    在上述意义下,可以证明 也是域F上的向量空间,称为V的对偶空间。

    双对偶空间

    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间

    考虑V*的对偶空间V**,存在从V到V**的自然映射 ,定义为: , 。

    有限维的情形

    V和其对偶空间V*是同构的(因此dimV=dimV*)当且仅当dimV有限。同构映射的构造方式有两个:

    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间

    基于 的同构映射:给出V的基 ,则可以通过以下方式映射至V*的基 :对 , ;对 , 。  

    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间

    基于双线性函数的同构映射:给定V上的一个双线性函数 ,可以诱导出同构映射 ,其中 ;反之给定同构映射 ,也可以定义双线性函数:

    对偶空间 对偶空间

    类似地,对V和双对偶空间V**,当且仅当dimV有限时,自然映射 就是同构映射。

    有限维向量空间V和其双对偶空间V**存在自然同构。这意味着对有限维线性空间V,我们只需考虑V和V*即可,更多次的对偶可以用同构处理。

    无限维的情形

    若V是无限维的,则V和V*不同构。进一步,dimV*>dimV。并且没有简单方法从V的基产生出V*的基。

    对偶空间 对偶空间

    对V和双对偶空间V**,自然映射是单射。

    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间

    例:空间 R的元素是实数列,其拥有很多非零数字。 R的双对偶空间是所有实数数列的空间。这些数列被用于元素而产生。

    张量代数

    在张量的语言中,V的元素被称为逆变(contravariant)向量而V*的元素被称为协变(covariant)向量,同向量(co-vectors)或一形(one-form)。

    线性映射转置

    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间
    对偶空间 对偶空间

    设 是线性映射。 的 转置 定义为 , 。

    对任意向量空间 VW,定义 L( V, W) 为所有从 V 到 W 的线性映射组成的向量空间。则 f|-> f 产生从 L( V, W) 至 L( W , V )的单射 ;这是个同构当且仅当 W 是有维限的。

    若 线性映射 f 表示作其对 V, W 的基之矩阵 A , 则 f 表示作其对 V , W 的对偶基之 转置矩阵。 若 g: W → X 是另一线性映射,则 ( g o f) = f o g.

    在范畴论的语言里,为任何向量空间取对偶及为任何线性映射取转置都是向量空间范畴的逆变函子。

    连续对偶空间/对偶空间 编辑

    处理拓扑向量空间时,我们一般仅感兴趣于该空间射到其基域的 连续线性泛函。由此导致 连续对偶空间之概念,此乃其代数对偶空间之一子空间。向量空间 V 之连续对偶记作 V′。此脉络下可迳称连续对偶为 对偶

    线性赋范向量空间 V (如一巴拿赫空间或一希尔伯特空间)之连续对偶 V′ 产生一线性赋范向量空间。对一 V 上之连续线性泛函。

    其范数 ||φ|| 定义为  

    对偶空间 对偶空间

    此法变一连续对偶为一线性赋范向量空间,实为巴拿赫空间。

    例子

    对任意有限维之 线性赋范向量空间或拓扑向量空间,正如欧几里得空间,其连续与代数对偶不二。

    令 1 < p < ∞ 为实数,并考虑所有序列 a = ( a n) 构成之巴拿赫空间,

    使其范数

    对偶空间 对偶空间

    有限。以 1/p+ 1/q= 1 定义ql其连续对偶遂自然等同于l:给定一元素 φ ∈ (l),l中相应元素为序列 (φ(en)) ,其中en谓第n项为 1 且余项皆 0 之序列。反之,给定一元素a= (an) ∈ll上相应之连续线性泛函φ 定为 φ(a) = ∑nanbn(对一切a= (an) ∈l)(见 Hölder不等式)。
      

    准此, l之连续对偶亦自然同构于 l。再者,巴拿赫空间 c (赋以上确界范数之全体收敛序列)及 c0( c 中收敛至零者)之连续对偶皆自然同构于 l

    性质

    V 为希尔伯特空间,则其连续对偶亦然,并反同构于 V;此盖黎兹表示定理所明,物理学人赖以描述量子力学之bra-ket 符号肇端乎是。

    类似双重代数对偶,对连续线性算子亦有连续单射 Ψ : VV '',此映射实为等距同构,即 ||Ψ( x)|| = || x|| 对一切 Vx 皆真。使 Ψ 为双射之空间称自反空间。

    连续对偶赋 V 以一新拓扑,名弱拓扑。

    V 之对偶可分,则 V 亦可分。反之则不然;试取空间 l1,其对偶 l∞ 不可分。

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