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  • 循环[群论中置换的一种表示]

    置换是群论中的一个基本概念,表示集合G=1,2,3,...,n中每个数换位到另一个位置。循环是一种比较简单的表示置换的方法。

    编辑摘要

    目录

    定义/循环[群论中置换的一种表示] 编辑

    约定一个记号:

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    叫做m阶循环[1],循环可以理解为压缩表示的置换。置换 只与元素的相邻状况有关,与哪个元素为首无关,比如 。

    性质/循环[群论中置换的一种表示] 编辑

    如果两个循环没有相同的元素,则称为是不相交的,不相交的两循环可以相乘,例如:

    循环[群论中置换的一种表示] 循环[群论中置换的一种表示]

    定理/循环[群论中置换的一种表示] 编辑

    定理:任何一个置换都可以表示成若干循环的乘积。

    证明:对任意置换:

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    从1开始搜索,如 ,则得一循环 ,若该循环包含了1到n所有元素,则搜索停止。否则从余下的元素中任一元素开始,如上述方法进行,再得一循环,如此反复直到所有元素都取完为止。

    分类/循环[群论中置换的一种表示] 编辑

    置换分成两大类:奇置换与偶置换。

    若一个置换能分解为奇数个换位之积,则为奇置换,若可以分解为偶数个换位之积,则为偶置换。

    举例说明:

    S = (1) (25) (37) (46) 3个换位,为奇置换

    S = (1) (2) (3) (4) (5) 0个换位,为偶置换

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    参考资料
    [1]^引用日期:2018-12-12
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