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  • 成本函数

    成本函数(cost function)指在技术水平和要素价格不变的条件下,成本与产出之间的相互关系。成本理论主要分析成本函数。成本函数和成本方程不同,成本函数说的是成本和产量之间的关系,成本方程说的是成本等于投入要素价格的总和,如果投入的是劳动L和资本K,其价格为PL和PK,则成本方程是C=L·PL+K·PK,成本方程是一个恒等式,而成本函数则是一个变量为产量的函数式。

    在统计学中,成本函数(cost function)通常被称为损失函数(loss function)。

    编辑摘要

    基本信息 编辑信息模块

    中文名: 成本函数 英文名: cost function
    别称: 损失函数 计算公式: C=L·PL+K·PK
    条件: 技术水平和要素价格不变的条件 属 性: 成本和产量之间的关系

    目录

    长短期/成本函数 编辑

    简介

    用表格表示长短期成本函数的基本情况:

    成本函数 成本函数

    性质

    从模型的描述和比较W1,W2,很容易得到一些关于长期成本函数和短期成本函数的关系。

    性质1:给定要素价格,对任意的产量y,和任意的固定要素量X2,一定有C(W1,W2,Y))≤C(W1,W2,Y,X)。

    证明:因为短期成本函数模型相对与长期成本函数的模型,所有条件都一样,只是增加了一条约束条件。所以短期成本函数模型中的可行域小于长期成本函数模型的可行域,从而前者的最小目标函数值不可能比后者的最小目标函数值值更小。而模型最小目标函数值正是成本函数值。

    说明:这条性质说明,长期成本曲线在任意一条短期成本曲线的下方。

    成本函数 成本函数

    性质2:给定要素价格W1,W2,对任意的产量y,存在某个固定要素量X2,使得C(W1,W2,Y)=C(W1,W2,Y,X)。

    证明:事实上,取*x2=x2=x2(w1,w2,y),则从预算约束的成立,可以推知,一定有x(w1,w2,y,x)=x(w1,w2,y),从而:C(w1,w2,y)=w1x1(w1,w2,y)+w2x2*=wx1(w,w,y,x*)+w2x2*=C(w1,w2,y,x*)。

    说明:这条性质说的是,长期成本上的任意一点,都有一条短期成本线可以达到它。

    性质3:给定要素价格W1,W2,对任意的产量y,由性质2知道存在某个固定要素量X2,使得C(w1,w2,y)=C(w1,w2,y,x)。那么对于任意的y′≠y,一定有1:C(w1,w2,y′)

    证明:因为在y′下,要素x1=x1(w1,w2y′),x2=x2(w1,w2,y′)是最优选择,所以对任意能生产出y′的其他要素组合x1′,x2′,一定有:w1x1(w1,w2,y′)+w2x2(w1,w2,y′)

    成本函数 成本函数

    说明:这条性质说的是,对于长期成本上的任一点,有一条短期成本曲线可以达到它。但是这条短期成本曲线在其他产量水平下,都是高于长期成本曲线的。这也就是说,在长期成本的任一点,不仅有一条短期成本曲线达到它,并且是以和它相切的方式达到。

    性质1,2描述的一般性曲线关系,就叫做“包络”关系。说白了,就是包络线在下面,包住了所有曲线,并且包络线的每一点,要能被曲线族中的某一条曲线取到。上述是成本曲线的关系,平均成本曲线就是在所有等式、不等式两边同除以y,所有性质还是成立的。于是,长期平均成本一样是短期平均成本的包络线。

    生产函数/成本函数 编辑

    短期成本函数反映了在技术、规模、要素价格给定条件下,最低成本随着产量变动而变动的一般规律。技术水平是通过生产函数来刻划的。因此,成本函数和生产函数之间存在着非常密切的关系。若给定生产函数和要素价格,就可以推导出成本函数。

    成本曲线/成本函数 编辑

    成本函数 成本函数

    成本 与产量之间关系的函数图象表示。从长期来看,企业的成本耗费无论是数量上或是利用率上都是处于变化之中的,企业生产每一数量产品的最低成本就是长期总成本。长期总成本曲线就是长期总成本函数的图象表示:

    长期总成本曲线的陡峭程度完全取决于生产函数和生产要素的价格。此曲线表现出这样几项特点:其一,成本和产量有直接关系,从上图中可以看出曲线有正科率,它表明产量增加,总成本就会增加,说明资源是有限的。其二,LRTC曲线先以一逐渐递减的比率,然后再以一个逐渐递增的比率上升,从上可以看出X产量的增量是相对的,而C成本的增量先是递减,然后是递增,即X1X2=X2X3时,但C1C2>C2C3,相反,当X4X5=X5X6jf,C4C5>C5C6。

    从短期来看,企业耗费的成本有一总值是固定的,如厂房设备折旧费等,有一部分则是变化的,如原材料、人工费等。所以,产品的短期总成本总是等于固定总成本与总变动成本之和,短期总成本曲线就是短期总成本函数的图象表示。

    具体实例/成本函数 编辑

    下面是一个具体的例子。

    成本函数 成本函数

    设:生产函数:

    约束函数:

    要素价格:

    则要素边际产量:

    最低成本的要素投入组合的必要条件:

    由此得到要素最佳投入比例:

    分别将(3)、(4)代人生产函数(1)得:

    将(5)代人约束函数(2)得:

    就是(6)

    (6)就是得到的成本函数。该成本函数的边际成本和平均成本都是常数,不具有典型形态。

    对应关系/成本函数 编辑

    经济分析中的成本曲线和生产曲线具有非常工整的对应关系:

    1、总产量曲线和总成本曲线:

    随着变动要素投入量的增加,总产量先递增地增加,然后递减地增加。与此对应,随着产量的增加,总成本先递减地增加,然后递增地增加。

    2、边际产量曲线与边际成本曲线:

    成本函数 成本函数

    随着劳动投人量的增加,边际产量先提高,后下降。与此对应,随着产量的增加,边际成本先下降,后提高。使边际产量最大的变动要素投入量,对应于边际成本最低的产量。

    3、平均产量曲线与平均变动成本曲线:

    随着劳动投入的增加,平均产量先提高,后下降。与此对应,随着产量的增加,平均变动成本先下降,后上升。使平均产量最大的变动要素投入量,对应于平均变动成本最低的产量

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