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拉普拉斯变换

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拉普拉斯变换是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。

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拉普拉斯变换 - 拉普拉斯变换

对一个实变量函数作拉普拉斯变换,并在复数域中作各种运算,再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果,往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效,它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理,从而使计算简化。在经典控制理论中,对控制系统的分析和综合,都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点,是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性(见信号流程图动态结构图)、分析控制系统的运动过程(见奈奎斯特稳定判据根轨迹法),以及综合控制系统的校正装置(见控制系统校正方法)提供了可能性。
  用 f(t)表示实变量t的一个函数,F(s)表示它的拉普拉斯变换,它是复变量sσj&owega;的一个函数,其中σ&owega; 均为实变数,j2=-1。F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定:

拉普拉斯变换

如果对于实部σσc的所有s值上述积分均存在,而对σσc时积分不存在,便称 σcf(t)的收敛系数。对给定的实变量函数 f(t),只有当σc为有限值时,其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上,常称F(s)为f(t)的象函数,记为F(s)=Lf(t)】;称f(t)为F(s)的原函数,记为ftL-1F(s)】。
  函数变换对和运算变换性质  利用定义积分,很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对,以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。表1和表2分别列出了最常用的一些函数变换对和运算变换性质。
拉普拉斯变换拉普拉斯变换
 
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  拉普拉斯反变换  拉普拉斯变换具有可逆性。由复数表达式F(s)来定出实数表达式f(t)的运算称为反变换。拉普拉斯反变换的定义积分式是

拉普拉斯变换

直接计算这个积分是困难的。但是对于大多数工程问题,F(s)往往是s的一个严格真有理分式

拉普拉斯变换

可采用简单步骤来完成反变换运算。对应于F(s)的分母多项式为零的根是两两不相等的情况,在定出它们的值λ1λ2、…、λn以后,由部分分式展开并结合查表1,可定出反变换函数为

拉普拉斯变换

式中拉普拉斯变换。如果F(s)的分母多项式为零的根中包含有重根,那么反变换的结果和计算过程都要复杂一些。
  应用  从数学的观点来说,拉普拉斯变换主要为求解线性微分方程提供了一种简便的运算方法。在给定微分方程后,运用表1的变换关系和表2的运算性质,就可把问题化成为求解象函数的代数方程,它的解经反变换后的结果就是微分方程的解。
  参考书目
 钟士模、郑大钟著:《过渡过程分析》,清华大学出版社,北京,1986。

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相关文献

附图

 

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