拉格朗日乘数法

约束条件下寻找条件极值的方法
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拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）是求解函数在一个或多个约束条件下条件极值的方法[6][7]，其总体求解步骤为：构造拉格朗日函数、求该函数的驻点、判断该驻点是否为极值点[9]。拉格朗日乘数法的几何意义是：在二维情况下，目标函数的等值线曲线与约束条件的曲线能相切的切点为函数的极值点[10]。
1753年，法国数学家、天文学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）阅读有关牛顿微积分的介绍之后，学习研究的方向便转移到数学分析上；次年，18岁的拉格朗日独自推导出求两个函数乘积的高阶求导公式；之后，他通过纯分析方法对积分的极值问题进行求解，得到莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）的肯定和支持[11][4][12]。1755年，拉格朗日在解决复杂几何问题最值问题时正式提出拉格朗日乘数法[3]。
拉格朗日乘数法在很多领域都具有广泛的应用价值[3]，例如：数学领域中点到平面的距离的证明[13]；经济学中通过控制人力和资本的数量获得常量的最优解[14]；工程学中计算岩土工程设计验算点和可靠指标等[15]。

简史

拉格朗日乘数法起源于17世纪的变分法，莱昂哈德·欧拉和约瑟夫·路易斯·拉格朗日的工作奠定了变分法的理论基础[16]。1753年，约瑟夫·路易斯·拉格朗日阅读有关牛顿微积分的介绍之后，学习研究的方向便转移到数学分析上；次年，18岁的约瑟夫·路易斯·拉格朗日取得了第一项研究成果，独自推导出了求两个函数乘积的高阶求导公式；之后他通过纯分析方法，对积分的极值问题进行了求解，该方法得到了瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的肯定和支持[12]。1755年，约瑟夫·路易斯·拉格朗日在解决复杂几何问题最值问题时正式提出拉格朗日乘数法[3]。