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  • 拐点”是个多义词,全部含义如下:

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    • 数学用语

    拐点[数学用语]

    拐点,又称反曲点,在数学上指改变曲线向上或向下方向的点,直观地说拐点是使切线穿越曲线的点(即曲线的凹凸分界点)。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数,则二阶导数在拐点处异号(由正变负或由负变正)或不存在。

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    基本信息 编辑信息模块

    中文名: 拐点

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    定义/拐点[数学用语] 编辑

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    设函数y=f(x)在点 的某邻域内连续,若( ,f( ))是曲线y=f(x)凹与凸的分界点,则称( ,f( ))为曲线y=f(x)的 拐点。  

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    注:拐点( ,f( ))是曲线上的一点,它有横坐标和纵坐标,不要只把横坐标当成拐点。

    存在条件/拐点[数学用语] 编辑

    必要条件

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    设函数f(x)在点 的某邻域内具有二阶连续导数,若( ,f( ))是曲线的拐点,则 ,但反之不成立。

    第一充分条件

    直接根据拐点的定义,可以得到曲线存在拐点的第一充分条件。

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    设函数f(x)在点 的某邻域内具有二阶连续导数,若 的两侧 异号,则( ,f( ))是曲线y=f(x)的一个拐点;若 的两侧 同号,则( ,f( ))不是曲线的拐点。

    第二充分条件

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    设函数y=f(x)在点 处 ,但 ,那么存在 的一个领域,在该领域内 或 ,根据函数单调性判定定理,则在该邻域内单调递增或单调递减,而,故存在点的一个邻域,在点的两侧异号,从而判定为曲线y=f(x)的拐点的横坐标。根据以上分析,可以得到曲线存在拐点的第二充分条件。

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    若 ,且 ,则( ,f( ))是曲线y=f(x)的拐点。

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    除上述情况外,f(x)的二阶导数不存在的点也有可能是的符号发生变化的分界点。  

    拐点的求法/拐点[数学用语] 编辑

    可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点:

    ⑴求f''(x);

    ⑵令f''(x)=0,解出此方程在区间I内的实根,并求出在区间I内f''(x)不存在的点;

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    ⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点,检查f''(x)在左右两侧邻近的符号,那么当两侧的符号相反时,点(,f())是拐点,当两侧的符号相同时,点(,f())不是拐点。

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    扩展阅读
    1数学分析讲义,高等教育出版社,刘玉琏、傅沛仁主编,P258定义。
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