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  • 指数函数

    指数函数是数学中重要的函数。应用到值 x 上的这个函数写为 exp(x)。还可以等价的写为 ex,这里的 e 是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于2.718281828,还叫做欧拉数。指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1) ,函数图形下凹,a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的函数。指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

    编辑摘要

    基本信息 编辑信息模块

    中文名: 指数函数 英文名: Exponential function
    一般式: y=a^x(a>0且a≠1) (x∈R) 定义域: x∈R
    单调递增: a>1时 单调递减: 0
    值域: (0,+∞) 性质: 既不是奇函数,也不是偶函数

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    数学术语/指数函数 编辑

    指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex,这里的e是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于 2.718281828,还称为欧拉数。

    指数函数指数函数

    当a>1时,指数函数对于x的负数值非常平坦,对于x的正数值迅速攀升,在 x等于 0 的时候,y等于1。当0<1时,指数函数对于x的负数值迅速攀升,对于x的正数值非常平坦,在x等于 0 的时候,y等于1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。即由导数知识得:

    作为实数变量x的函数,

    的图像总是正的(在x轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及x轴,尽管它可以无限程度地靠近x轴(所以,x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x),它定义在所有正数x上。

    指数函数指数函数

    有时,尤其是在科学中,术语指数函数更一般性的用于形如

    (k属于R) 的

    函数,这里的 a 叫做“底数”,是不等于 1 的任何正实数。本文最初集中于带有底数为欧拉数e 的指数函数。

    指数函数指数函数

    指数函数的一般形式为

    (a>0且≠1) (x∈R),从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得a>0且a≠1。

    如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

    在函数中可以看到

    (1) 指数函数的定义域为R,这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不连续,因此我们不予考虑,同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

    (2) 指数函数的值域为。

    (3) 函数图形都是上凹的。

    (4) a>1时,则指数函数单调递增;若0<1,则为单调递减的。

    指数函数指数函数

    (5) 可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过

    程中(不等于0)函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

    (6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。

    指数函数指数函数

    (7) 函数总是通过(0,1)这点,(若

    ,则函数定过点(0,1+b))

    (8) 指数函数无界。

    (9)指数函数是非奇非偶函数

    (10)指数函数具有反函数,其反函数是对数函数,它是一个多值函数。

    公式推导/指数函数 编辑

    指数函数指数函数

    e的定义:

    设a>0,a≠1

    方法一:

    指数函数指数函数
    指数函数指数函数
    指数函数指数函数
    指数函数指数函数
    指数函数指数函数
    指数函数指数函数

    特殊地,当

    时,

    方法二:

    ,两边取对数ln y=xln a

    两边对x求导:y'/y=ln a,y'=yln a=a^xln a

    特殊地,当a=e时,y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。

    eº=1

    函数图像/指数函数 编辑

    指数函数指数函数

    (1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1,a)可知:在

    y轴右侧

    ,图像

    从下到上相应的底数由小变大

    (2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:在

    y轴左侧

    ,图像

    从下到上相应的底数由大变小

    (3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“

    底大图高

    ”;在y轴左边“

    底大图低

    ”。(如右图)》。

    (4)y等于a的x次方与y等于a分之一的x次方的图像关于y轴对称。

    幂的比较/指数函数 编辑

    比较大小常用方法:(1)比差(商)法:(2)函数单调性法;(3)中间值法:要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小。

    比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意:

    (1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。

    例如:y=3 ,y=3 因为3大于1所以函数单调递增(即x的值越大,对应的y值越大),因为5大于4,所以y 大于y 。

    (2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可

    以利用指数函数图像的变化规律来判断。

    指数函数指数函数

    例如:

    ,

    ,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减;3大于1,所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过(0,1)然后随着x的增大,y1图像下降,而y2上升,在x等于4时,y2大于y1.

    (3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较。如:

    <1> 对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0、1的大小)进行分组,再比较各组数的大小即可。

    <2> 在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”(即比较它们与“1”的大小),就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢?由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向(例如: a 〉1且x 〉0,或0〈 a〈 1且 x〈 0)时,

    大于1,异向时

    小于1.

    〈3〉例:下列函数在R上是增函数还是减函数?说明理由.

    指数函数指数函数

    指数函数指数函数

    因为4>1,所以

    在R上是增函数;

    指数函数指数函数

    因为0<1/4<1,所以

    在R上是减函数。

    定义域/指数函数 编辑

    x∈R,指代一切实数(-∞,+∞),就是R。

    值域/指数函数 编辑

    对于一切指数函数

    来讲,当a满足a>0且a≠1时,值域为(0, +∞);a=1时也可以,此时值域为{1}。

    化简技巧/指数函数 编辑

    (1)把分子、分母分解因式,可约分的先约分;

    (2)利用公式的基本性质,化繁分式为简分式,化异分母为同分母;

    指数函数指数函数

    (3)把其中适当的几个分式先化简,重点突破;

    (4)可考虑整体思想,用换元法使分式简化;

    (5)参考图像来进行化简。

    运算/指数函数 编辑

    1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈*。

    当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数.此时,的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical),这里叫做根指数(radicalexponent),叫做被开方数(radicand)。

    当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。

    注意:当是奇数时,当是偶数时。

    2.分数指数幂

    正数的分数指数幂的意义,规定:

    0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

    指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂。

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