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  • 数列

    按一定次序排列的一列数称为数列(sequence of number)。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。

    编辑摘要

    基本信息 编辑信息模块

    中文名称: 数列 外文名: sequence of number
    适用领域范围: 数学

    目录

     由来 /数列 编辑



    三角形数

    传说古希腊毕达哥拉斯(约公元前570-约公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数。比如,他们研究过由于这些数可以用如右图所示的三角形点阵表示,他们就将其称为三角形数。
    数列 数列

    正方形数

    类似地,被称为正方形数,因为这些数能够表示成正方形。
    因此,按照一定顺序排列的一列数成为数列。

    数列定义 /数列 编辑

        按一定次序排列的一列数称为数列(sequence of number)。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。

    概念 /数列 编辑

                   数列的一般形式可以写成
      a1,a2,a3,…,an,…
      简记为{an},项数有限的数列为“ 有穷数列”(finite sequence),项数无限的数列为“无穷数列”(infinite sequence)。
      从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做 递增数列;如:1,2,3,4,5,6,7
      从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做 递减数列;如:8,7,6,5,4,3,2,1
      从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做 摆动数列
      各项呈周期性变化的数列叫做 周期数列(如三角函数);
      各项相等的数列叫做 常数列。如:2,2,2,2,2,2,2,2,2
      通项公式:数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。(注:通项公式不唯一)
      递推公式:如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
      数列中数的总数为数列的项数。特别地,数列可以看成以 正整数集N*(或它的 有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数an=f(n)。
      如果可以用一个公式来表示,则它的通项公式是a(n)=f(n). 

    表示方法

      如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如an=(-1)^(n+1)+1。
    数列通项公式的特点:(1)有些数列的通项公式可以有不同形式,即不唯一。(2)有些数列没有通项公式
      如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。如an=2a(n-1)+1 (n>1)    。

    表示方法 /数列 编辑



    如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如。
    数列通项公式的特点:(1)有些数列的通项公式可以有不同形式,即不唯一。(2)有些数列没有通项公式
    递推公式。如=2+1 (n>1)
    数列递推公式的特点:(1)有些数列的递推公式可以有不同形式,即不唯一。(2)有些数列没有递推公式
    有递推公式不一定有通项公式
     

    等差数列 /数列 编辑

                  定义
      一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列(arithmetic sequence),这个常数叫做等差数列的公差(common difference),公差通常用字母d表示。
    缩写
      等差数列可以缩写为A.P.(Arithmetic Progression)。
    等差中项
      由三个数a,A,b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时,A叫做a与b的等差中项(arithmetic mean)。
      有关系:A=(a+b)/2
    通项公式
      an=a1+(n-1)d
      an=Sn-S(n-1) (n≥2)
      an=kn+b(k,b为常数)
    前n项和
      Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2
      Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n
    性质
      且任意两项am,an的关系为:
      an=am+(n-m)d
      它可以看作等差数列广义的通项公式。
      从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:
      a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
      若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有
      am+an=ap+aq
      S2n-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1
      Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…成等差数列,等等。
      和=(首项+末项)×项数÷2
      项数=(末项-首项)÷公差+1
      首项=2和÷项数-末项
      末项=2和÷项数-首项
      设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3,即2a2=a1+a3。
    应用
      日常生活中,人们常常用到等差数列如:在给各种产品的尺寸划分级别
      时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,常按等差数列进行分级。
      若为等差数列,且有an=m,am=n.则a(m+n)=0。 

    等比数列 /数列 编辑

            定义
      一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列(geometric sequence)。这个常数叫做等比数列的公比(common ratio),公比通常用字母q表示。
    缩写
      等比数列可以缩写为G.P.(Geometric Progression)。
    等比中项
      如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。
      有关系:G^2=ab;G=±(ab)^(1/2)
      注:两个非零同号的实数的等比中项有两个,它们 互为相反数,所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的 必要不充分条件
    通项公式
      an=a1q^(n-1)
      an=Sn-S(n-1) (n≥2)
    前n项和
      当q≠1时,等比数列的前n项和的公式为
      Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
      当q=1时,等比数列的前n项和的公式为
      Sn=na1
    性质
      任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)
      (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出: a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}
      (4)等比中项:aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。
      记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
      另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
      性质:
      ①若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq;
      ②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.
      “G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.
      (5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
      在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.
      注意:上述公式中A^n表示A的n次方。
    应用
      等比数列在生活中也是常常运用的。
      如:银行有一种支付利息的方式---复利。
      即把前一期的利息和本金价在一起算作本金,
      再计算下一期的利息,也就是人们通常说的利滚利。
      按照复利计算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期
      如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。
      (1)等比数列的通项公式是:An=A1*q^(n-1)
      若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时,则可把an看作自变量n的函数,点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
      (2)求和公式:Sn=nA1(q=1)
      Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
      =(a1-a1q^n)/(1-q)
      =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
      (前提:q不等于 1)
      任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)
      (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出: a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}
      (4)等比中项:aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。
      记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
      另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。       

    等和数列 /数列 编辑

                                                                                                                                                                                                                                                                                                     定义
      “等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。
      对一个数列,如果其任意的连续k(k≥2)项的和都相等,我们就把此数列叫做等和数列
    性质
      必定是循环数列
    练习
      1、下面一列整数中(每个字母或括号都代表一个整数),任意相临的3个整数的和都是20,则x+y+z=? x,2,(),(),(),4,(),y,(),(),z
      2、(2004年湖南省理科实验班联合招生考试数学卷第2试第三题) 圆周上放着120个正数(不一定是整数),今知其中任何相连的35个数的和都是200.证明:这些数中的每一个数都不超过30.(旁注:题目中“相连”即“相临”之意) 答案: 第1题 : x=14,y=2,z=2 , 故: x+y+z=18 ; 第2题 : (120,35)=5 ,使5个数为一组,每7组的和是200,那么每组有 200/7<30 所以每一个数都不超过30。列的通项求法
    一般有

    解题方法 /数列 编辑

      an=Sn-Sn-1 (n≥2)
      累和法(an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an)。
      逐商全乘法(对于后一项与前一项商中含有未知数的数列)。
    化归法(将数列变形,使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列)。

    特别数列 /数列 编辑

      在等差数列中,总有Sn S2n-Sn S3n-S2n
      2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn
      即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列
      不动点法(常用于分式的通项递推关系)
      不动点法求数列通项
      对于某些特定形式的数列 递推式可用不动点法来求
      幂次数列表:
      1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
      2 2 4 8 16 32 64 128 258 512 1024
      3 3 9 27 81 243 729
      4 4 16 64 256 1024
      5 5 25 125 625
      6 6 36 216 1296

    特殊数列的通项的写法 /数列 编辑

           1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n
      1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n
      2,4,6,8,10,12,14.......-------an=2n
      1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1
      -1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n
      1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1)
      1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/2
      1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2
      9,99,999,9999,99999,......... ------an=(10^n)-1
      1,11,111,1111,11111.......--------an=[(10^n)-1]/9
      衍生n,nn,nnn,nnnn,nnnnn......---------an=[(10^n)-1]*n/9,n为1-9的整数
      1,4,9,16,25,36,49,.......------an=n^2
      1,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1)

    数列前N项和公式的求法 /数列 编辑

    (一)1.等差数列:
      通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数
      ak=ak+(n-k)d ak为第k项数
      若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2
      2.等差数列前n项和:
      设等差数列的前n项和为Sn
      即 Sn=a1+a2+...+an;
      那么 Sn=na1+n(n-1)d/2
      =dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n
      还有以下的求和方法: 1,不 完全归纳法 2 累加法 3  倒序相加法
      (二)1.等比数列:
      通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项
      an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)
      则an/am=q^(n-m)
      (1)an=am*q^(n-m)
      (2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0)
      (3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq
      2.等比数列前n项和
      设 a1,a2,a3...an构成等比数列
      前n项和Sn=a1+a2+a3...an
      Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这 个公式也要理解)
      Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);
      注: q不等于1;
      Sn=na1 注:q=1
      求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法(即数学归纳法) 2 累乘法 3  错位相减法 4 倒序求和法 5  裂项相消法

    著名的数列 /数列 编辑

         等差数列典型例题:
      1/(1x(1+1))+1/(2x(2+1))+1/(3x(3+1))+1/(4x(4+1))+1/(5x(5+1))...............1/(n(n+1)) 求Sn
      解析:
      Sn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5).............[1/n-1/(n+1)]
      =1-1/(n+1)
      大 衍数列 0、2、4、8、12、18、24、32、40、50------
      通项式:
      an=(n×n-1)÷2 (n为奇数)
      an=n×n÷2 (n为偶数)
      前n项和公式:
      Sn = (n-1)(n+1)(2n+3)÷12 (n为奇数)
      Sn = n(n+2)(2n-1)÷12 (n为偶数)
    大衍数列来源于《 乾坤谱》,用于生原理。
      斐波那契数列 1、1、2、3、5、8、13、21、……
      递推公式为:F(1)=1,F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)
      通项式
      F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
      这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的。
      还可以发现 Sn-2 +Sn -1=Sn


    定理口诀 /数列 编辑



    等差等比两数列,通项公式N 项和。两个有限求极限,四则运算顺序换。
    数列问题多变幻,方程化归整体算。数列求和比较难,错位相消巧转换,
    取长补短高斯法,裂项求和公式算。归纳思想非常好,编个程序好思考:
    一算二看三联想,猜测证明不可少。还有数学归纳法,证明步骤程序化:

    相关文献

    附图

     

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