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  • 极限

    极限,数学的一个重要概念。在数学中,如果某个变化的量无限地逼近于一个确定的数值,那么该定值就叫做变化的量的极限。极限指的是变量在一定的变化过程中,从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值(极限值)。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中,几乎所有基本概念都是建立在极限概念的基础之上。极限思想是微积分的基本思想,数学分析中的一系列重要概念,如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

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    基本信息 编辑信息模块

    中文名: 极限 英文名: limit
    应用领域: 微积分 代表人物: 柯西和魏尔斯特拉斯

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    概念/极限 编辑

    极限极限
    极限概念 更精确地表述为:如果序列 x1,x2,...xn,...,当n无穷大时,趋向于某个确定的数值a,则称数a为该序列的极限。记作

    极限

    历史/极限 编辑

    极限思想在古希腊的穷竭法和中国古代的割圆术中已经萌芽。在牛顿的微积分中也含有极限思想。但是,直到19世纪初,人们对极限的理解还没有摆脱几何直观。只是到了1821年,法国数学家A.L.柯西才把极限概念建立在算术的基础上。他把极限定义为:若变量的一串数值无限地趋向某一定值时,其差可以随意地小,则该定值称为这一串数值的极限。19世纪70年代,德国K.魏尔施特拉斯等人在数学分析的算术化过程中,进一步用"ε-N"语言更精确地把极限概念表述为:如果序列x1,x2,...xn,...对于任意给定的无论怎样小的正数ε,总存在一个正整数N,使得当n>N时,不等式ㄧxn-aㄧ<ε恒成立,则称数a为该序列的极限。
    极限概念体现了有限与无限的对立统一关系。序列x1x2,...xn,...是由无限多个有限值组成的,并且在收敛的条件下,存在着有限的极限值。这说明了无限包含着有限,并且在一定条件下,可以向有限转化;另一方面,有限又包含着无限,在一定条件下,可以转化为无限,并通过无限表现自身。这一点在函数f(x)的级数展开式

    极限

    中得到充分体现。正是有了这一公式,我们才能研究复杂函数的变化情况,以及求无理数的近似值。例如,求自然对数的底e的近似值,就可以利用它的级数展开式

    极限

    求得。这表明极限概念具有重要的方法论意义。

    数列极限/极限 编辑

    极限极限

    数列的定义

    一个定义在正整数集合上的函数yn=f(n)(称为整标函数),当自变量n按正整数1,2,3…依次增大的顺序取值时,函数值按相应的顺序排成一串数:f(1),f(2),f(3),…,f(n),…称为一个无穷数列,简称数列。数列中的每一个数称为数列的项,f(n)称为数列的一般项。

    数列的极限

    如果对于任意给定的正数c,总存在一个正整数N,当n>N时,∣yn-A∣

    此定义中的正数c只有任意给定,不等式

    才能表达出xn与a无限接近的意思。且定义中的正整数N与任意给定的正数c是有关的,它是随着c的给定而选定的。

    函数极限/极限 编辑

    函数的极值有两种情况:a):自变量无限增大;b):自变量无限接近某一定点x0,如果在这时,函数值无限接近于某一常数A,就叫做函数存在极值。

    a):自变量趋向无穷大时函数的极限

    设函数y=f(x),若对于任意给定的正数ε(不论其多么小),总存在着正数X,使得对于适合不等式

    的一切x,所对应的函数值f(x)都满足不等式那么常数A就叫做函数y=f(x)当x→∞时的极限,记作:

    b):自变量趋向有限值时函数的极限
    设函数f(x)在某点x0的某个去心邻域内有定义,且存在数A,如果对任意给定的ε(不论其多么小),总存在正数δ,当0<

    <δ时,<ε则称函数f(x)当x→x0时存在极限,且极限为A,记:

    变量极限/极限 编辑

    极限极限

    如果对于任意给定的正数C在变量Y变化过程中,总有那么一个时刻,在那个时刻以后,

    恒成立,则称变量y变化过程中以常数A极限,记作。

    如果在某一变化过程中,变量Y有极限,则变量Y是(局部)有界变量。

    无穷大量/极限 编辑

    已知函数,当x→0时,可知,我们把这种情况称为趋向无穷大。为此我们可定义如下:
    设有函数y=,在x=x0的去心邻域内有定义,对于任意给定的正数N(一个任意大的数),总可找到正数δ,当时,成立,则称函数当时为无穷大量。记为:(表示为无穷大量,实际它是没有极限的)。

    无穷小量/极限 编辑

    以零为极限的变量称为无穷小量。

    定义:设有函数

    对于任意给定的正数C不论它多么小),总存在正数N(或正数M),使得对于适合不等式或的一切x,所对应的函数值满足不等式,则称函数当(或x→∞)时为无穷小量。记作:或。

    无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量,不是常量,只有0可作为无穷小量的唯一常量。
    无穷大量与无穷小量的区别是:前者无界,后者有界,前者发散,后者收敛于0。
    无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的。

    极限思想/极限 编辑

    极限的思想是近代数学的一种重要思想,数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。所谓极限的思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。[1]

    用极限思想解决问题的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量,先设法构思一个与它有关的变量,确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到这结果。极限思想是微积分的基本思想,数学分析中的一系列重要概念,如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问:“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说:“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。

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    应用数学

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    应用数学思考将抽象的数学工具运用在解答科学、工商业及其他领域上之现实问题。

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    相关文献

    参考资料
    [1]^引用日期:2015-02-14
    扩展阅读
    1《微积分》 《经济应用数学》 《高等数学查阅手册》
    开放分类 我来补充
    数学极限

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