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  • 梯度

    在向量微积分中,标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向,梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说,从欧几里得空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上,梯度是雅可比矩阵的一个特殊情况。在单变量的实值函数的情况,梯度只是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率。梯度一词有时用于斜度,也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被称为梯度。

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    详细介绍​/梯度 编辑

    设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w,在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw,则称为该物理参数的梯度,也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度、温度或空间,则分别称为速度梯度、浓度梯度、温度梯度或空间梯度。其中温度梯度在直角坐标系下的表达式如右图。

    梯度梯度

    在向量微积分中,标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向,梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说,从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上,梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。

    在单变量的实值函数的情况,梯度只是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率。

    梯度一词有时用于斜度,也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被称为梯度。

    在二元函数的情形,设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点P(x,y)∈D,都可以定出一个向量

    (δf/x)*i+(δf/y)*j

    这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度,记作gradf(x,y)

    类似的对三元函数也可以定义一个:(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]

    梯度本意是一个向量(矢量),当某一函数在某点处沿着该方向的方向导数取得该点处的最大值,即函数在该点处沿方向变化最快,变化率最大(为该梯度的模)。

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