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  • 欧拉公式

    欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有,复变函数中的欧拉幅角公式,即将复数、指数函数与三角函数联系起来。拓扑学中的欧拉多面体公式。初等数论中的欧拉函数公式。欧拉公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律,它只适用于简单多面体。常用的欧拉公式有复数函数e^ix=cosx+isinx,三角公式d^2=R^2-2Rr ,物理学公式F=fe^ka等。

    编辑摘要

    基本信息 编辑信息模块

    中文名称: 欧拉公式 外文名: Eulers formula
    应用学科: 数学
    解释: 是指以欧拉命名的诸多公式之一 发现人: 欧拉

    目录

    基本介绍/欧拉公式 编辑

    (Euler公式)

    在数学历史上有很多公式都是欧拉(Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的,它们都叫做欧拉公式,分散在各个数学分支之中。

    公式介绍/欧拉公式 编辑

    复变函数

    e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位。

    欧拉公式欧拉公式

    e^ix=cosx+isinx的证明:

    因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……

    cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……

    sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……

    在e^x的展开式中把x换成±ix.

    (±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 ……

    e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……

    =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)

    所以e^±ix=cosx±isinx

    将公式里的x换成-x,得到:

    e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到:

    sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到:

    恒等式恒等式

    e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数字联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e,圆周率π,两个单位:虚数单位i和自然数的单位1,以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”

    那么这个公式的证明就很简单了,利用上面的e^±ix=cosx±isinx。 那么这里的π就是x,那么

    e^iπ=cosπ+isinπ

    =-1

    那么e^iπ+1=0

    这个公式实际上是前面公式的一个应用。

    分式

    分式里的欧拉公式:

    a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)

    当r=0,1时式子的值为0

    当r=2时值为1

    当r=3时值为a+b+c

    三角公式

    三角形中的欧拉公式:

    设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则:

    d^2=R^2-2Rr

    拓扑学说

    拓扑学里的欧拉公式:

    拓扑学拓扑学

    V+F-E=X(P),V是多面体P的顶点个数,F是多面体P的面数,E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

    如果P可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上),那么X(P)=2,如果P同胚于一个接有h个环柄的球面,那么X(P)=2-2h。

    X(P)叫做P的欧拉示性数,是拓扑不变量,就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量,是拓扑学研究的范围。

    初等数论

    欧拉φ函数:φ(n)是所有小于n的正整数里,和n互素的整数的个数。n是一个正整数。

    欧拉证明了下面这个式子:

    如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am,其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数,而且两两不等。则有

    φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

    利用容斥原理可以证明它。

    物理学

    欧拉公式应用欧拉公式应用

    众所周知,生活中处处存在着摩擦力,欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里:

    F=fe^ka

    其中,f表示我们施加的力,F表示与其对抗的力,e为自然对数的底,k表示绳与桩之间的摩擦系数,a表示缠绕转角,即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。

    此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。

    平面几何/欧拉公式 编辑

    设△ABC的外心为O,内心为I,外接圆半径为R,内切圆半径为r,又记外心、内心的距离OI为d,则有

    欧拉公式欧拉公式

    (1)式称为欧拉公式.

    为了证明(1)式,我们现将它改成

    欧拉公式欧拉公式

    (2)式左边是点I对于⊙O的幂:过圆内任一点P的弦被P分成两个部分,这两个部分的乘积是一个定值,称为P关于⊙O的幂。事实上,如图3.21,如果将OI延长交圆于E、F,那么

    欧拉公式
欧拉公式

    因此,设AI交⊙O于M,则

    欧拉公式欧拉公式

    因此,只需证明

    欧拉公式欧拉公式

    或写成比例式

    欧拉公式
欧拉公式

    为了证明(5)式,应当寻找两个相似的三角形。一个以长IA、r为边;另一个以长2R、MI为边。前一个不难找,图3.21中的△IDA就是,D是内切圆与AC的切点。后一个也必须是直角三角形,所以一边是直径ML,另一个顶点也应当在圆上。△MBL就满足要求。

    容易证明

    欧拉公式
欧拉公式
    欧拉公式欧拉公式

    因此(5)式成立,从而(1)式成立。

    欧拉公式欧拉公式

    因为

    ,所以由欧拉公式得出一个副产品,即

    欧拉公式欧拉公式

    拓扑学/欧拉公式 编辑

    空间中的欧拉公式

    V+F-E=X(P),V是多面体P的顶点个数,F是多面体P的面数,E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

    如果P可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上),那么X(P)=2,如果P同胚于一个接有h个环柄的球面,那么X(P)=2-2h。

    X(P)叫做P的欧拉示性数,是拓扑不变量,就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量,是拓扑学研究的范围。

    在多面体中的运用:

    简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系


     这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

    证明

    欧拉公式欧拉公式

    (1) 把多面体(图中①)看成表面是薄橡皮的中空立体。

    (2) 去掉多面体的一个面,就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形,像图中②的样子。假设F′,E′和V′分别表示这个平面图形的(简单)多边形、边和顶点的个数,我们只须证明F′-E′+V′=1。

    (3) 对于这个平面图形,进行三角形分割,也就是说,对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线,一直到成为一些三角形为止,像图中③的样子。每引进一条对角线,F′和E′各增加1,而V′却不变,所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候,F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。

    (4) 如果某一个三角形有一边在边界上,例如图④中的△ABC,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即AC,这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变,所以F′-E′+V′也没有变。

    (5) 如果某一个三角形有二边在边界上,例如图⑤中的△DEF,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即DF和EF,这样就去掉△DEF。这样F′减去1,E′减去2,V′减去1,因此F′-E′+V′仍没有变。

    (6) 这样继续进行,直到只剩下一个三角形为止,像图中⑥的样子。这时F′=1,E′=3,V′=3,因此F′-E′+V′=1-3+3=1。

    (7) 因为原来图形是连在一起的,中间引进的各种变化也不破坏这事实,因此最后图形还是连在一起的,所以最后不会是分散在向外的几个三角形,像图中⑦那样。

    (8) 如果最后是像图中⑧的样子,我们可以去掉其中的一个三角形,也就是去掉1个三角形,3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。

    成立,于是欧拉公式:

    得证。

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