泰勒公式

1712年布鲁克·泰勒提出的公式
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泰勒公式（Taylor Formula）是一个用函数某点的信息描述其附近取值的公式[10]，它利用高阶导数来刻画函数的性质[11]，包括带皮亚诺余项的泰勒公式和带拉格朗日余项的泰勒公式两种类型[12][13]。特别地，当x0=0时，称为麦克劳林（Maclaurin）公式[14][15]。泰勒公式的几何意义是利用函数的图像逼近函数原函数图像[16][17]。泰勒公式还给出了余项即这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格里高雷已经发现了它的特例，从格雷戈里-牛顿插值公式（Gregory-Newton Interpolation Formula）发展而成[3]，其特殊形式称为麦克劳林公式，由苏格兰数学家科林·麦克劳林（Colin Maclaurin）于1742年首次提出[18]。1717年，泰勒用泰勒定理成功求解了数值方程[4]，但其重要性直到1772年才被认识到[19]。19世纪20年代，法国数学家柯西（Cauchy）完成了对泰勒定理的严格证明，使其进一步被认可和应用[3][4][20]。
与泰勒公式类似的分析学基本定理是微分中值定理，但是它利用函数的一阶导数来刻画函数的性质[11]。泰勒公式在近似计算[21]、求极限[22]、求高阶导数在某点的数值、判断函数极值、判断广义积分收敛性以及不等式证明等问题中可以简化计算过程。此外，泰勒公式及其相关概念在工业、数学、物理、计算机科学、经济等领域也具有广泛的应用价值。例如，在图像处理领域，泰勒公式可以用于近似分形几何；它也被应用于债券收益率计算中，以寻求较为简单的收益率显示表达式[9]。

历史

泰勒公式是由英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）于18世纪提出的一种将一个函数在某点的局部信息推广到全局的方法，即利用函数在某点的各阶导数值作系数构建一个多项式，从而用函数在某点的信息描述其附近取值[2][23]。