相平面法

相平面法是 Poincare. H 于 1885 年首先提出来的,它是求解一、二阶线性或非线性系 统的一种图解法,可以用来分析系统的稳定性。

编辑摘要

目录

相平面法 - 相平面法

 

相平面法 - 正文

  用绘制在直角平面坐标上的表征变量及其变化速率间关系的轨迹来研究二阶自治系统的一种图解方法。这种方法可用来分析一大类非线性系统的运动。自治系统是指其运动方程中不显含时间变量 t的系统。二阶自治系统运动方程的一般形式为

相平面法

式中黑点表示变量对时间t求导数。如果x表示位移,则凧和尦就是速度和加速度。在运用相平面法分析时,以x为横坐标、以y=凧为纵坐标构成相平面,并将自治系统运动方程化成相应的相轨迹方程,它是如下形式的一阶微分方程:        

相平面法

通过解析的方法或近似计算方法来求解相轨迹方程,即可得到相轨迹方程解的表达式或数值解,它在相平面上的图形称为相轨迹。对于系统不同的初始条件,可画出不同的相轨迹,它们全体组成系统的相轨迹族(图1)。在相平面上,根据相轨迹族能明显地看出系统的各种全局性质。例如,运动类型,稳定性,极限环和奇点(系统的静平衡点)的位置,数目和类型等。因此,相平面图能相当全面地刻划二阶自治系统的运动特性。

相平面法相平面法
 
相平面法相平面法
 
相平面法相平面法

  如果能得到相轨迹方程解的显表达式,则二阶自治系统的相轨迹可精确绘出。否则,只能根据相轨迹的一些基本性质,采用近似方法来绘制相轨迹。在这类近似绘图法中最常用的有等倾线法、里耶纳德法等。相平面法在用于分析继电控制系统时尤为简单和方便。
  对于相轨迹方程为    

相平面法

的一类特殊形式的二阶自治系统,其相平面图的研究已有完善的结果。若孤立奇点位于坐标原点(ad-bc≠0),则其相平面图可按奇点类型分成 6类:中心、稳定焦点、不稳定焦点、稳定节点、不稳定节点、鞍点(图2)。对于更复杂的情况,已有的结果多数尚不完善。
  常微分方程的定性理论是相平面法的理论基础。研究非线性系统的相平面图的拓扑结构,是微分方程几何理论的主要任务。相平面上闭合的相轨迹称为极限环,它在物理上对应于出现在系统中的等幅振荡。图3a表示稳定极限环,b表示不稳定极限环,c表示半稳定的极限环。研究极限环的存在性、大小和周期,以及产生和消除的方法在控制工程上具有重要意义。

 

相平面法 - 配图

 

相平面法 - 相关连接

附图

 

为本词条添加视频组图相关影像

开放分类: 我来补充
力学名词 科学名词

互动百科的词条(含所附图片)系由网友上传,如果涉嫌侵权,请与客服联系,我们将按照法律之相关规定及时进行处理。未经许可,禁止商业网站等复制、抓取本站内容;合理使用者,请注明来源于www.baike.com。

欢迎加入互动百科大家庭,和互动百科超过 770万专业认证智愿者一起,分享你的真知灼见。

如果你对大家的讨论有兴趣,可以点击“赞”和“鄙视”的大拇指,来表达你的看法。

讨论区的精彩内容,会被用户顶到最上面,让更多人感受到大家的推荐,你注意到了吗?

登录后使用互动百科的服务,将会得到个性化的提示和帮助,还有机会和770多万专业认证智愿者沟通。

互动百科用户登录
您也可以使用以下网站账号登录:

你感兴趣

关闭