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  • 维恩图

    维恩图:也叫文氏图,用于显示元素集合重叠区域的图示。维恩图的历史,1880年,维恩(Venn)在《论命题和推理的图表化和机械化表现》一文中首次采用固定位置的交叉环形式再加上阴影来表示逻辑问题(如图1所示),这一表示方法,不仅让逻辑学家无比激动——以致于19世纪后期、整个20世纪直到今天,还有许许多多的逻辑学家都对此潜心钻研,在大量逻辑学著作中,Venn图占据着十分重要的位置,而且,维恩图还被应用于数学学科中,尤其是被应用于集合论当中。

    编辑摘要

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    维恩图也叫文氏图,用于显示元素集合重叠区域的图示。

    维恩图维恩图

    历史/维恩图 编辑

        1880年,维恩(Venn)在《论命题和推理的图表化和机械化表现》一文中首次采用固定位置的交叉环形式再加上阴影来表示逻辑问题(如图1所示),这一表示方法,不仅让逻辑学家无比激动——以致于19世纪后期、整个20世纪直到今天,还有许许多多的逻辑学家都对此潜心钻研,在大量逻辑学著作中Venn图占据着十分重要的位置,而且,维恩图还被应用于数学学科中,尤其是被应用于集合论当中.

    类似的图/维恩图 编辑

        Johnston图和欧拉图可能在外观上同文氏图是一致的。它们之间的任何区别都在它们的应用领域中,就是说在被分割的全集的类型中。Johnston图特别适用于命题逻辑的真值,而欧拉图展示对象的特定集合,文氏图的概念更一般的适用于可能的联系。文氏图和欧拉图没有合并的原因好像是欧拉的版本是早在100多年前就出现了的,欧拉已经有了足够多的成就了,而Venn只留下了这么一个图。

       在欧拉图和文氏图之间的区别只是在想法上,欧拉图要展示特定集合之间的联系,而文氏图要包含所有可能的组合。下面是欧拉图的一个例子:

    集合A、B和C

        在这个例子中,一个集合完全在另一个集合内部。我们说集合A是在世界中能找到的所有的不同类型的奶酪,集合B是在世界中能找到的所有食物。从这个图中,你可以看出所有奶酪都是食物,但是不是所有食物都是奶酪。进一步的说,集合C(比如说金属造物)与集合B没有公共元素(集合的成员),从此我们可以在逻辑上断言没有奶酪是金属造物(或者反过来说)。在形式上,上述的图可以在数学上解释为"集合A是集合B的真子集,而集合C和集合B没有公共元素"。或解释为一个三段论

    扩展/维恩图 编辑

        作了很多努力去把文氏图推广到多个集合。Venn使用椭圆达到了四个集合但从未满意他的五集合解法。在一个世纪之前找到了一种能满足Venn有关对称图的非正式标准的优雅的方法。在设计彩色玻璃窗的过程中缅怀Venn,A.W.F.Edwards提出了‘齿轮’方法

    解决问题/维恩图 编辑

        维恩图既可以表示一个独立的集合,也可以表示集合与集合之间的相互关系.例如,集合A={0,1,3,5},可以用图2来表示;集合A是集合B的真子集,可以用图3表示;集合A∪B可以表示成图4;集合A∩B可以表示成图5.

       有了上述的表示方法,我们就可以利用维恩图来解决有关集合问题了.

    例1(1994年全国高考试题)设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则=()A.B.{0,1}C.{0,1,4}D.{0,1,2,3,4}

    分析与解:将已知条件用维恩图表示(如图7),由维恩图可知,=,={0,1},所以={0,1,4}.故选C.

    例2设全集U=N*},若,则()A.A={1,8},B={2,6}B.A={1,3,5,8},B={2,3,5,6},C.A={1,8},B={2,3,5,6}D.A={1,3,8},B={2,5,6}

    分析:本题可以利用维恩图来表示已知条件,从而直观地解决问题.

    解:由U=N*},得U={1,2,3,4,5,6,7,8}.由可知,元素1,8∈A,且1,8B,于是,可以在维恩图中标出这两个元素的位置(如图8所示);由得,元素2,6∈B,且2,6A,同样地又可以在维恩图中标出元素2和6的位置;又由可知,元素4,7在全集U中、集合A,B之外(如图8);所以,全集U中剩下的两个元素3,5∈A∩B,在维恩图中标出元素3和5.所以,由图8可知,A={1,3,5,8},B={2,3,5,6}.故选B.

    例3设全集为U,已知集合A={2,4,6,8,10},={1,3,5,7,9},={1,4,6,8,9},求集合B.

    分析:本题给出了集合A,和,需要由这三个条件确定集合B,于是,可以通过对已知条件的分析,并借助于维恩图来解决问题.

    解:如图,因为A={2,4,6,8,10},={1,4,6,8,9},所以,元素1和9既不在集合A中,也不在集合B中,于是,元素1和9在全集U中、但在集合A,B之外,即1,9∈(如图9);又因为3,5,7∈,但3,5,7,所以,元素3,5,7必属于集合B;因为2,10,但是2,10,所以,2,10,即2,10(如图9).所以,集合B={2,3,5,7,10}.

    从上面的几个例子我们不难发现:由于维恩图能够直观地表示集合以及集合于集合之间的关系,所以,利用维恩图可以帮助我们形象而又简捷地地解决问题.因此,同学们要逐步地形成利用维恩图解题的意识,提高自己解决问题的能力.

    制作工具/维恩图 编辑

    *ProcessOn

    *MicrosoftPowerpoint

    *VennDiagrams

    *Winvenn

    相关词条/维恩图 编辑

    数学集合数学定理图例图形

    参考资料/维恩图 编辑

    1.维恩图的介绍
    2.维恩图与德摩根定律

    相关文献

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    扩展阅读
    1维恩图的介绍2维恩图与德摩根定律

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