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  • 蛇引理

    在同调代数中,蛇引理是构造长正合序列的关键工具,此引理在任何阿贝尔范畴中皆成立。依此构造的同态通常称作连结同态。

    编辑摘要

    目录

    叙述/蛇引理 编辑

    蛇引理 蛇引理

    考虑一阿贝尔范畴 (例如阿贝尔群或模的范畴)中的交换图:

    蛇引理 蛇引理
    蛇引理 蛇引理

    使得每一横列均为正合序列。此时存在一个联系 的核与上核的正合序列:

    蛇引理 蛇引理
    蛇引理 蛇引理
    蛇引理 蛇引理
    蛇引理 蛇引理
    蛇引理 蛇引理

    此外,若 是单射,则 亦然;若 '是满射,则 亦然。

    引蛇出洞/蛇引理 编辑

    为了理解 蛇引理的由来,观察下图:

    蛇引理 蛇引理

    并注意到:引理给出的正合序列可在此图中画成倒S状的蛇形。[1]

    构造连接同态/蛇引理 编辑

    蛇引理 蛇引理

    核间的同态与上核间的同态很容易构造,它们由该图的交换性自然导出,正合性也可以直接代定义验证。重点在于连接同态 及序列在该处的正合性。

    蛇引理 蛇引理

    对于模范畴的情形,同态 可如是构造:

    蛇引理 蛇引理
    蛇引理 蛇引理
    蛇引理 蛇引理
    蛇引理 蛇引理
    蛇引理 蛇引理

    选定 ,并视之为 的元素;由于 是满射,存在 满足 。由图的交换性,我们有

    蛇引理 蛇引理
    蛇引理 蛇引理

    (因为 )

    蛇引理 蛇引理
    蛇引理 蛇引理
    蛇引理 蛇引理
    蛇引理 蛇引理
    蛇引理 蛇引理
    蛇引理 蛇引理
    蛇引理 蛇引理

    于是 。由于底部的横列正合,存在 使得 。置 。今须验证 是明确定义的,即 不依赖 之选取;此外尚须验证它是个同态,及序列的正合性。

    蛇引理 蛇引理
    蛇引理 蛇引理

    一旦完成以上几点验证,即证明了此引理在模范畴的情形。对一般情形,可利用核与上核的泛性;此外也能使用Mitchell嵌入定理,此定理断言任一阿贝尔范畴都能迁入某个环 的 -模范畴。

    函子性/蛇引理 编辑

    在应用上,我们常常需要长正合列的“函子性”或曰“自然性”(就自然变换意义言之);各种建构的函子性也是同调代数的基本哲学。此函子性可由蛇引理的函子性导出。[2]

    设交换图

    蛇引理 蛇引理

    的横列均为正合,则可利用蛇引理两次,一次在“前”一次在“后”,产生两条长正合序列;它们经由以下交换图相连系:

    蛇引理 蛇引理

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    参考资料
    [1]^引用日期:2019-08-09
    [2]^引用日期:2019-08-09
    开放分类 我来补充
    同调代数引理

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