集合论公理系统
集合论公理系统
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集合论公理系统(axiom systems for set theory)公理集合论的基础部分。如同平面几何中的点、线、面一样，集合是一个不加定义的原始概念。为了克服罗素悖论，人们试图把集合论公理化，用公理对集合加以限制。第一个常用的公理系统是策梅洛和弗伦克尔等提出的Z-F集合论公理系统。这个系统中只有一个非逻辑二元关系符号“∈”，非逻辑公理有：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离公理模式、替换公理模式、正则公理，再加上选择公理就构成Z-F-C系统。利用公理可以定义出空集、序对、关系、函数等集合，还可以给出序关系、良序关系、序数、基数，也可以给出自然数、整数、实数等概念。集合论中有关集合的性 质，在公理集合论中都可以得到证明。公理系统中还可以证明公理之间的相对和谐性和独立性，例如，柯恩于1960年创立公理集合论中的力迫法，并用来证明Z-F-C系统与连续统假设独立。公理集合论发展很快，马丁公理、苏斯林假设等新公理新方法已被广泛使用，组合集合论、描述集合论、大基数、力迫法的研究已经渗透到数学的各个分支。
基本介绍
集合论公理系统是集合论的一组特定的公理系统，在集合论公理系统中，集合是一个不加定义的原始概念，集合和属于关系“∈”是通过公理来刻画的，虽然每条公理都不是借助于直观而是借助于严谨的形式语言加以刻画的，然而公理的背景都是很深刻和直观的，它们来源于康托尔(G.F.P.Cantor)的集合论，是从经典集合论中整理和抽象出来的基本原则。每一公理都刻画集合的某一基本性质。把某些公理放在一起组成刻画集合特征的若干基本原则，就称为集合论的一个公理系统。公理系统的选择不是惟一的，但是应该遵循一些基本原则。如系统的相容性(协调性)、完备性以及独立性等要求。1908年出现两个著名的公理系统，这就是策梅洛(E.F.F.Zermelo)的公理系统和罗素(B.A.W.Russell)的类型论，前者经斯科伦(A.T.Skolem)、弗伦克尔(A.A.Fraenkel)的改进与补充，成为最易于理解、影响最广的一个系统，被称为ZF系统。1925年，冯·诺伊曼(J.von Neumann)又提出一个系统，后经贝尔奈斯(P.Bernays)、哥德尔(K.Go¨del)修改形成GB系统(亦称NGB系统)，除上述两个著名的系统外，还有奎因系统、王浩系统、阿克曼系统、莫利和斯科特系统。