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  • 高斯-勒让德算法

    高斯-勒让德算法是一种用于计算π的算法。它以迅速收敛著称,只需25次迭代即可产生π的4500万位正确数字。不过,它的缺点是内存密集,因此有时它不如梅钦类公式使用广泛。

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    介绍/高斯-勒让德算法 编辑

    高斯-勒让德算法是一种用于计算π的算法。它以迅速收敛著称,只需25次迭代即可产生π的4500万位正确数字。不过,它的缺点是内存密集,因此有时它不如梅钦类公式使用广泛。

    该方法基于卡尔·弗里德里希·高斯(1777–1855)和阿德里安-马里·勒让德(1752–1833)的个人成果与乘法和平方根运算的现代算法的结合。该算法反复替换两个数值的算术平均数和几何平均数,以接近它们的算术-几何平均数。

    下文的版本也被称为 高斯-欧拉,布伦特-萨拉明(或萨拉明-布伦特)算法;它于1975年被理查德·布伦特和尤金·萨拉明独立发现。日本筑波大学于2009年8月17日宣布利用此算法计算出π小数点后2,576,980,370,000位数字,计算结果用波温算法检验。  

    知名的计算机性能测试程序Super PI也使用此算法。

    算法/高斯-勒让德算法 编辑

    设置初始值:

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    高斯-勒让德算法 高斯-勒让德算法
    高斯-勒让德算法 高斯-勒让德算法

    反复执行以下步骤直到 与 之间的误差到达所需精度:

    高斯-勒让德算法 高斯-勒让德算法

    则π的近似值为:

    高斯-勒让德算法 高斯-勒让德算法

    下面给出前三个迭代结果(近似值精确到第一个错误的位数):

    3.140...

    3.14159264...

    3.1415926535897932382...

    该算法具有二阶收敛性,本质上说就是算法每执行一步正确位数就会加倍。

    数学背景/高斯-勒让德算法 编辑

    算术-几何平均数的极限

    a和b两个数的算术-几何平均数,是通过计算它们的序列极限得到的:

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    高斯-勒让德算法 高斯-勒让德算法
    高斯-勒让德算法 高斯-勒让德算法
    高斯-勒让德算法 高斯-勒让德算法

    两者汇聚于同一极限。
      若 a=1且

    ,则极限为
    ,其中
    为第一类完全椭圆积分:

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    高斯-勒让德算法 高斯-勒让德算法

    若,则

    高斯-勒让德算法 高斯-勒让德算法

    其中E(k)为第二类完全椭圆积分:

    高斯-勒让德算法 高斯-勒让德算法

    高斯知道以上这两个结果。

    勒让德恒等式

    高斯-勒让德算法 高斯-勒让德算法
    高斯-勒让德算法 高斯-勒让德算法
    高斯-勒让德算法 高斯-勒让德算法

    对于满足的与,勒让德证明了以下恒等式:

    高斯-勒让德算法 高斯-勒让德算法

    高斯-欧拉法

    高斯-勒让德算法 高斯-勒让德算法
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    的值可以代入勒让德恒等式,且K、E的近似值可通过的算术-几何平均数的序列项得到。

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