• 正在加载中...
  • 高斯-勒让德算法

    请用一段简单的话描述该词条,马上添加摘要

    目录

    算法/高斯-勒让德算法 编辑

    1. 设置初始值:
    a_0 = 1\qquad b_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\qquad t_0 = \frac{1}{4}\qquad p_0 = 1\!
    2. 反复执行以下步骤直到a_n\!与b_n\!之间的误差到达所需精度:
    \begin{align} a_{n+1} & = \frac{a_n + b_n}{2}, \\
    b_{n+1} & = \sqrt{a_n b_n}, \\
    t_{n+1} & = t_n - p_n(a_n - a_{n+1})^2, \\
    p_{n+1} & = 2p_n.
    \end{align}
    3. 则π的近似值为:
    \pi \approx \frac{(a_n+b_n)^2}{4t_n}.\!
    下面给出前三个迭代结果:
    3.140\dots\!
    3.14159264\dots\!
    3.14159265358979\dots\!
    该算法具有二阶收敛性,本质上说就是算法每执行一步正确位数就会加倍。

    数学背景/高斯-勒让德算法 编辑

    算术-几何平均数的极限


    a0和b0两个数值的算术-几何平均数,是通过计算它们的序列极限得到的:
    \begin{align} a_{n+1} & = \frac{a_n+b_n}{2}, \\
    b_{n+1} & = \sqrt{a_n b_n},
    \end{align}
    两者汇聚于同一限额。若a_0=1\!且b_0=\cos\varphi\!则限额为{\pi \over 2K(\sin\varphi)}\!且K(k)\!为第一类完全椭圆积分:
    K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}.\!
    若c_0 = \sin\varphi\!,c_{i+1} = a_i - a_{i+1}\!,则
    \sum_{i=0}^\infty 2^{i-1} c_i^2 = 1 - {E(\sin\varphi)\over K(\sin\varphi)}\!
    且E(k)\!为第二类完全椭圆积分:
    E(k) = \int_0^{\pi/2}\sqrt {1-k^2 \sin^2\theta}\, d\theta.\!
    高斯知道以上这些结果。

    勒让德恒等式


    对于满足\varphi+\theta={1 \over 2}\pi\!的\varphi\!与\theta\!,勒让德证明了以下恒等式:
    K(\sin \varphi) E(\sin \theta ) + K(\sin \theta ) E(\sin \varphi) - K(\sin \varphi) K(\sin \theta) = {1 \over 2}\pi\!

    高斯-勒让德方法


    \varphi=\theta={\pi\over 4}\!的值可以代入到勒让德恒等式,且K,E的近似值可通过a_0=1\!与b_0=\sin{\pi \over 4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\!的算术-几何平均数的序列项得到

    添加视频 | 添加图册相关影像

    开放分类 我来补充
    圆周率算法

    互动百科的词条(含所附图片)系由网友上传,如果涉嫌侵权,请与客服联系,我们将按照法律之相关规定及时进行处理。未经许可,禁止商业网站等复制、抓取本站内容;合理使用者,请注明来源于www.baike.com。

    登录后使用互动百科的服务,将会得到个性化的提示和帮助,还有机会和专业认证智愿者沟通。

    互动百科用户登录注册
    此词条还可添加  信息模块
    编辑摘要

    WIKI热度

    1. 编辑次数:1次 历史版本
    2. 参与编辑人数:1
    3. 最近更新时间:2014-03-19 08:09:24

    贡献光荣榜

    更多

    相关词条

    互动百科

    扫码下载APP