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    黑洞数又称陷阱数,是类具有奇特转换特性的整数。

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    名称/黑洞数 编辑

    黑洞数

     

    介绍/黑洞数 编辑

    黑洞数又称陷阱数,是类具有奇特转换特性的整数。 任何一个数字不全相同整数,经有限“重排求差”操作,总会得某一个或一些数,这些数即为黑洞数。"重排求差"操作即组成该数得排后的最大数去重排的最小数。

    举个例子,三位数的黑洞数为495  

    简易推导过程:随便找个数,如297,三个位上的数从小到大和从大到小各排一次,为972和279,相减,得693  

    按上面做法再做一次,得到594,再做一次,得到495  

    之后反复都得到495  

    再如,四位数的黑洞数有6174


    神秘的6174-黑洞数

    随便造一个四位数,如a1=1628,先把组成部分1628的四个数字由大到小排列得到a2=8621,再把1628的四个数字由小到大排列得a3=1268,用大的减去小的a2-a1=8621-1268=7353,把7353按上面的方法再作一遍,由大到小排列得7533,由小到大排列得3357,相减7533-3367=4176
    把4176再重复一遍:7641-1467=6174。
    如果再往下作,奇迹就出现了!7641-1467=6174,又回到6174。
    这是偶然的吗?我们再随便举一个数1331,按上面的方法连续去做:
    3311-1133=2178 8721-1278=7443 7443-3447=3996 9963-3699=6264
    6624-2466=4174 7641-1467=6174

    好啦!6174的“幽灵”又出现了,大家不妨试一试,对于任何一个数字不完全的四位数,最多运算7步,必然落入陷阱中。

    这个黑洞数已经由印度数学家证明了。

    在数学中由有很多有趣,有意义的规律等待我们去探索和研究,让我们在数学中得到更多的乐趣。
    苏联的科普作家高基莫夫在他的著作《数学的敏感》一书中,提到了一个奇妙的四位数6174,并把它列作“没有揭开的秘密”。不过,近年来,由于数学爱好者的努力,已经开始拨开迷雾。

    6174有什么奇妙之处?

    请随便写出一个四位数,这个数的四个数字有相同的也不要紧,但这四个数不准完全相同,例如 3333、7777等都应该排除。

    写出四位数后,把数中的各位数字按大到小的顺序和小到大的顺序重新排列,将得到由这四个数字组成的四位数中的最大者和最小者,两者相减,就得到另一个四位数。将组成这个四位数的四个数字施行同样的变换,又得到一个最大的数和最小的数,两者相减……这样循环下去,一定在经过若干次(最多7次)变换之后,得到6174。

    例如,开始时我们取数8208,重新排列后最大数为8820,最小数为0288,8820—0288=8532;对8532重复以上过程:8532-2358=6174。这里,经过两步变换就掉入6174这个“陷阶”。

    需要略加说明的是:以0开头的数,例如0288也得看成一个四位数。再如,我们开始取数2187,按要求进行变换:

    2187 → 8721-1278=7443→7443-3447=3996→9963-3699=6264→6642-2466=4176→7641-1467=6174。

    这里,经过五步变换就掉入了“陷阱”——6174。

    拿6174 本身来试,只需一步:7641-1467=6174,就掉入“陷阱”祟也出不来了。

    所有的四位数都会掉入6174设的陷阱,不信可以取一些数进行验证。验证之后,你不得不感叹6174的奇妙。

    任何一个数字不全相同整数,经有限次“重排求差”操作,总会得某一个或一些数,这些数即为黑洞数。"重排求差"操作即组成该数得排后的最大数去重排的最小数。

    黑洞数的性质及应用

    【摘要】本文提出建立了黑洞数的概念,分别对整数黑洞数、模式黑洞数、方幂余式黑洞数的一般性质做了阐述。并给出了二元一次方程 ax- by- c =0的求根法则。

    【关键词】 黑洞数、 整数黑洞数 、 模式黑洞 数 、方幂余式黑洞数。

    【引言】 在日常学习计算中,化简含有未知数的代数式或方程经常会得到x-x=0之结果。此前,人们只是把这种情况定义为“此算式没有意义”而终结。黑洞数理论的出现 ,让人们看到了代数式或方程中未知数可任意取值时的另一层含义。本文提出证明的方幂余式黑洞数定理,揭示出a, m不互素条件下的余数循环规律,它将与欧拉余数定理互为补充,构造出全体整数的方幂式除法余数运算法则。本文给出的二元一次方程ax-by-c=0的求根公式,将成为余数新理论应用的一个范例。

    定义1、在含有未知数变量的代数式中,当未知数变量任意取值时其运算结果都不改变,我们把这时的数字结果叫黑洞数。根据运算性质的不同,我们把黑洞数分为以下三种类型:Ⅰ、整数黑洞数 Ⅱ、模式黑洞数 Ⅲ、方幂余式黑洞数

    Ⅰ、整数黑洞数

    在前文《模根因数定理与模根剩余法判定素数》中,在建立选加因数概念后,我们证明了整数因数定理:
    若a、b都是大于1的整数,且有g = ab,则有:
    g+an=a(b+n)
    其中 : n = 0、1、2、3……
    根据整数因数定理,我们即可得到如下整数黑洞数
    ab+an
    --------------- = a
    b+n
    其中: n = 0、1、2、3 ……
    这里,不论未知变量怎样取值,上式的结果都等于a.。
    例如:取a=7, b=3,ab=21, 则有:
    21+7n
    ---------------- = 7
    3+n
    其中: n = 0、1、2、3 ……
    应用方面的例子:
    全体偶数 = 2 (n) + 2, ( n = 0、1、2、3 ……)

    自然数中的全部合数 = 4 +2n + h(2+n)
    其中: n = 0、1、2、3 ……
    对n的每个取值都重复取
    h = 0、1、2、3 ……

    Ⅱ、模式黑洞数

    模式黑洞数是指模的同余式mn+L条件下的黑洞数。 在前文《模根因数定理与模根剩余法判定素数》一文中,模根因数定理(1)式:
    若 a>1, b>1,且 ab = mk + L,则有:
    m(k+aN)+L
    -------------------------- = a
    b+mN
    其中:N = 0、1、2、3 ……
    这时的a值就是模式黑洞数。
    应用实例:
    取a=7, b=13, 则 ab= 91=mk + L = 2×45×1
    2(45+7N)+1
    根据上式得到:-------------------------- =7
    13+2N
    其中:N = 0、1、2、3 ……
    应用实例:素数通式定理
    若ap是同余式2N+1模根数列的条件剩余数,
    当 ap ≠ 4 + 3n + h (3 +2n ) 时
    其中:n = 0、1、2、3 ……
    对n的每个取值都重复取
    h = 0、1、2、3 ……
    则条件通式 2+1 的值恒是素数。
    模式黑洞数性质是我们建立素数代数理论体系的根本前提。

    Ⅲ、方幂余式黑洞数

    在方幂余式除法 a^n÷m ≡L关系中,当得到 L^n÷m ≡L 时 (n = 1、2、3 ……), 我们称这时的L为因数a的m值黑洞数。
    例如:在 3×5 = 15 关系时
    我们得到: 3^4÷15 ≡ 6
    这时有: 6^n÷15 ≡ 6 (n = 1、2、3 ……)
    所以我们称6是因数3的15值的方幂余式黑洞数。
    为了方便,我们引入符号 ⊙(m)a = L 来表示方幂余式黑洞数关系。即上式结果可表示为 ⊙(15)3 = 6,符号“⊙”在这里读作黑洞数。
    下面我们将证明方幂余式黑洞数定理;
    定理1: 如a>1, b>1,(a ,b)=1 且 ab = m ;
    则有:a^ф(b)≡⊙ (mod m)
    即这时:⊙^n ≡⊙ (mod m)
    其中:n = 1、2、3 ……
    证:我们分别对b为素数,b为素数乘方,b为多个素数乘积时的情况加以证明。
    当b为素数时:
    取a=7, b=19, 则 ab = 7×19 = 133
    由定理关系得到:
    7^ф(19)=7^18≡77 (mod 133)
    而 77^n≡77 (mod 133) 此时定理关系成立
    当b为素数的n次乘方时:
    取 a = 7, b=5^2=25, 则 ab = 7×25 = 175
    由定理关系得到:
    7^ф(25)=7^20≡126 (mod 175)
    而 126^n≡126 (mod 175) 此时定理关系也成立
    当b为多个素数乘积时:
    取 a = 7, b= 3×11=33,则 ab = 7×33 = 231
    由定理关系得到:
    7^ф(33)=7^20≡133 (mod 231)
    而 133^n≡133 (mod 231) 所述定理关系式成立
    故定理1得证

    方幂余式黑洞数的一些性质及应用:

    1、因数a的黑洞数减1的平方除m的余数是因数b的黑洞数;
    即:如 ⊙(m)a = e1, 则 (e1-1)^2÷m ≡ e2 = ⊙(m)b

    2、m所含黑洞数的个数等于m所含素因数个数做为2底方次数减2;
    即:m为素数没有黑洞数
    m有2个素因子时有2^2-2 = 2个黑洞数
    m含有3个素因子时有2^3-2 = 6个黑洞数

    3、在m定值后,如果把全部 an (n = 1、2、3 …… 但n≠b) 值都做为底数,这时的
    a^c÷m≡⊙的c值变化规律。与m的余数循环节a^c÷m≡1规律具有相同的变节和不变节特性。
    即: 若 7^10≡⊙ (mod m) 关系成立,
    则 (7^2)5≡⊙ (mod m) 关系也成立;
    应用方面的例子:
    若 b>c ,我们有以下二元一次方程 ax -by -c = 0 求根法则:
    首先: 取 ab = m
    计算: a^ф(b)÷m ≡ ⊙
    计算: ⊙×c ÷m ≡S1
    计算: (⊙-1)×c ÷m ≡S2
    x =S1÷a
    这时
    y =S2÷b
    这时的 x,y 值是方程的最小整数根。
    但方程 ax- by- c = 0 有无限多组整数根,它的全部整数根集可表示为:
    x = S1÷a + b n
    y = S2÷b + a n
    其中:n = 0、1、2、3 ……
    实例1:求方程 13x- 7y -3 = 0 的最小整数根和全部整数根?
    首先: 取13×7 = 91
    计算: 13^ф(7)=13^6÷91 ≡ 78
    计算: 78×3÷91 ≡52
    计算: (78-1)×3÷91 ≡49
    x =52÷13=4
    这时
    y =49÷7=7
    这时的 x,y 值是方程的最小整数根。
    但方程 ax- by- c = 0 有无限多组整数根,它的全部整数根集可表示为:
    x = 4 + 7n
    y = 7 + 13n
    其中:n = 0、1、2、3 ……
    实例2:求方程 13x- 8y +4 = 0 的最小整数根和全部整数根?
    首先: 取13×8 = 104
    计算: 13^ф(8)=13^4÷91 ≡ 65
    计算: 65×(-4)÷104 ≡ -52≡52
    计算: (65-1)×(-4)÷104 ≡ -48≡56
    x =52÷13=4
    这时
    y =56÷8=7
    这时的 x,y 值是方程的最小整数根。
    但方程 13x- 8y +4 = 0 有无限多组整数根,它的全部整数根集可表示为:
    x = 4 + 8n
    y = 7 + 13n
    其中:n = 0、1、2、3 ……

    随着时间的推移,相信人们会看到黑洞数理论的更多成果。

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