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  • 0.999…

    我们知道0.999...=1是目前数学界普遍认可的,那么它是怎么来的呢?首先有人不这么认为。他们认为可以根据运算、特别是微积分的重要极限的结果确定0.999…不等于1。

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    证明方法/0.999… 编辑

    • 我们知道0.999...=1是目前数学界普遍认可的,那么它是怎么来的呢?首先有人不这么认为。他们认为可以根据运算、特别是微积分的重要极限的结果确定0.99…不等于1。

    • 其实,还有一种简便易懂的证明方法:因1/3=0.333...,而依据等式的基本性质,1/3×3=0.333...×3,1/3×3=1,0.333...×3=0.999...。所以0.999...=1

    最简单的证明/0.999… 编辑

    • 最简单的证明是这样的:1/3 = 0.333...,两边同时乘以 3,1 = 0.999... 。1998 年,弗雷德·里奇曼(Fred Richman)在《数学杂志》(Mathematics Magazine)上的文章《0.999... 等于 1 吗?》中说到:“这个证明之所以如此具有说服力,要得益于人们想当然地认为第一步是对的,因为第一步的等式从小就是这么教的。”大卫·托(David Tall)教授也从调查中发现,不少学生看了这个证明之后都会转而开始怀疑第一个等式的正确性。仔细想想你会发现,“1/3 等于 0.333…” 与 “1 等于 0.999…” 其实别无二致,它们同样令人难以接受。正如很多人会认为 “0.999… 只能越来越接近 1 而并不能精确地等于 1” 一样,“0.333… 无限接近但并不等于 1/3” 的争议依旧存在。问题并没有解决。

    另一个证明/0.999… 编辑

    • 大卫·福斯特·华莱士(David Foster Wallace)在他的 《Everything and More》一书中介绍了另外一个著名的证明:

    • 令 x = 0.999...

    • 所以 10x = 9.999...

    • 两式相减得 9x = 9

    • 所以 x = 1

    • 威廉·拜尔斯(William Byers)在《How Mathematicians Think》中评价这个证明:“0.999... 既可以代表把无限个分数加起来的过程,也可以代表这个过程的结果。许多学生仅仅把 0.999... 看作一个过程,但是 1 是一个数,过程怎么会等于一个数呢?这就是数学中的二义性⋯⋯他们并没有发现其实这个无限的过程可以理解成一个数。看了上面这个证明而相信等式成立的学生,可能还没有真正懂得无限小数的含义,更不用说理解这个等式的意义了。”

    逐渐靠谱证明/0.999… 编辑

    • 等比级数具有这么一个性质:如果 |r| < 1

    • 接下来,令a=9,r=1/10,则可以得到:0.999...=9/10+9/100+9/1000...=9/10 / 1-1/10=1

    • 这个证明最早出现在 1770 年大数学家欧拉(Leonhard Euler)的《代数的要素》(Elements of Algebra)中,不过当时他证明的是 10=9.999... 。

    • 之后的数学课本中渐渐出现了更为形式化的极限证明:

    • 1846 年,美国教科书《大学算术》(The University Arithmetic)里这么说:在 0.999... 里,每增加一个 9,它都离 1 更近。1895 年的另一本教科书《学校算术》(Arithmetic for School)则说:如果有非常多的 9,那么它和 1 就相差无几了。意外的是,这些“形象的说法”却适得其反,学生们常常以为 0.999... 本身其实是比 1 小的。

    • 随着人们对实数更加深入的理解,0.999... = 1 有了一些更深刻的证明。1982 年,巴图(Robert. G. Bartle)和谢波特(D. R. Sherbert)在《实分析引论》(Introduction to Real Analysis)中给出了一个区间套的证明:给定一组区间套,则数轴上恰有一点包含在所有这些区间中;0.999... 对应于区间套[0, 1]、[0.9, 1]、[0.99, 1]、[0.999, 1] ... ,而所有这些区间的唯一交点就是 1,所以 0.999... = 1。

    • 弗雷德·里奇曼的文章《0.999... 等于 1 吗?》里则用戴德金分割给出了一个证明:所有比 0.999... 小的有理数都比 1 小,而可以证明所有小于 1 的有理数总会在小数点后某处异于 0.999... (因而小于 0.999... ),这说明 0.999... 和 1 的戴德金分割是一模一样的集合,从而说明 0.999... = 1 。

    • 格里菲思(H. B. Griffiths)和希尔顿(P. J. Hilton)在 1970 年出版的《A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics: A Contemporary Interpretation》中,用柯西序列给出了另一个证明。

    未停止过讨论/0.999… 编辑

    • 尽管证明越来越完备,学生们的疑惑却从来没有因此减少。在品托(Pinto)和大卫·托教授的一份调查报告中写到,当学生们用高等方法证明了这个等式之后,会大吃一惊地说,这不对呀,0.999… 显然应该比 1 小呀。

    • 在互联网上,这个等式的魅力也依然不减。辩论 0.999… 是否等于 1 被讨论组 sci.math 评为“最受欢迎的运动”,各类问答网站中也总是会有网友激烈的讨论。 诺贝尔奖获者费曼(Richard Feynman)也用这个等式开过一句玩笑。有一次他说到:“如果让我背圆周率,那我背到小数点后 762 位,然后就说 99999 等等等,就不背了。”这句话背后有一个很奇怪的笑点:从 π 的小数点后 762 位开始,出现了连续的 6 个 9,偏偏在这里来一个“等等等”,就会给人感觉好像后面全是 9,这相当于把 π 变成了一个无限循环小数。此后,π 的小数点后 762 位就被戏称为了费曼点(Feynman Point)。

    教学问题/0.999… 编辑

    0.999...=1,这历来是小学生不易接受的一个问题。每当讲到这个问题,老师总要一再强调0.999...就是等于1。然而事情过后,大部份小学生的思维又恢复原状:觉得0.999...=1是有问题的。小学生之所以难于接受0.999...=1这样一个正确的事实,是有其原因的。分析起来,原因主要有如下三个方面:

    第一,先入为主的思想作梗。六年制小学数学课本第八册中,比较小数大小的方法是对有限小数而言的。由于当时没有出现无限小数,小学生不明确这个比较的适用范围,后来就随意地运用到无限小数的比较上来,所以误认为0.999...=0.9<1。

    第二,小学生缺乏辩证思想。从有限到无限,会发生量变到质变这样的事情,对小学生们说,是很难理解的。因为他们根本就缺乏小学生哪能接受这样的极限思想!在小学生的眼光里,只能是:“在整数部分是零的情况下,小数点后面不管有多少个9,总还是比1小,而0.999...=1那是书上写的,老师讲的,要我们记的。”所以,0.999...=1小学生至多只能知其然,无法知其所以然。

    第三,教材处理,教法运用上有问题,不能从教材和小学生这两个实际出发,来突破难点。以上三点原因,第一点可以向学生作补充说明,第二点无法向学生讲授;第三点则是可以做文章的。这正是写本文的动意。怎样从教材和小学生的实际出发来抓住关键,突破这个难点呢?我认为从逆向思维原则来考虑问题是可行的。既然按0.999...=1这个方向来处理学生很难接受,那么我们就反过来考虑,阐明1=0.999...就行了。  

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