巴拿赫空间
1920年提出的数学定理
条目
历史版本
正文
一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。从K.（T.W.）外尔斯特拉斯以来，人们久已十分关心闭区间【α,b】上的连续函数以及它们的一致收敛性。甚至在19世纪末，G.阿斯科利就得到【α，b】上一族连续函数之列紧性的判断准则，后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。1909年F.（F.）里斯给出C【0,1】上连续线性泛函的表达式，这是分析学历史上的重大事件。还有一个极重要的空间，那就是由所有在【0,1】上p次可勒贝格求和的函数构成的Lp空间(1<p<∞)。在1910～1917年，人们研究它的种种初等性质；其上连续线性泛函的表示，则照亮了通往对偶理论的道路。人们还把弗雷德霍姆积分方程理论推广到这种空间，并且引进全连续算子的概念。当然还该想到希尔伯特空间。正是基于这些具体的、生动的素材，S.巴拿赫与N.维纳相互独立地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念，并且在不到10年的时间内便发展成一部本身相当完美而又有着多方面应用的理论。
定义 对于实(或复)数域K上的线性空间X，若有从X到R的函数‖x‖使得：①‖x‖≥0,‖x‖=0必须且只须x=0,②对α ∈K,有‖αx‖=α‖x‖,③‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖,则称X为线性赋范空间，而称‖x‖为范数。