数值分析

研究用计算机求解数学问题方法及理论的学科
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数值分析（Numerical Analysis）是研究分析用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论的学科。[2]数值分析具有构造性、近似性、数值化结果的特点，[14]是计算数学的一个主要部分。[2]
数值分析的历史源远流长，自有数学以来就有关于数值计算方面的研究。公元前2000年，古代巴比伦人就有了关于二次方程求解的研究，中国古代数学家刘徽利用割圆术求得圆周率π的近似值，而后祖冲之求得圆周率π的高精度值，这都是数值计算方面的杰出成就。[3]19至20世纪初，数值分析得到了快速发展。高斯（Carl Friedrich Gauss）[4]的最小二乘法在天文学中找到了应用，也成为了统计学和数值线性代数的基石。[15][16]20世纪中叶以后，冯·诺依曼（John von Neumann）和图灵（Turing）合力定义了计算机软、硬件。冯·诺依曼于1947年在《美国数学学会公报》发表了数值代数研究的首篇文章《高阶矩阵数值求逆》，提到了截断误差的相关内容。同年11月，在图灵发表的文章《矩阵过程中的舍入误差》中，同样也提到了利用计算机进行矩阵计算中出现的舍入误差问题。[5]后来，数值分析的理论与方法在解决数值问题的长期实践过程中逐步形成和发展起来，随着科学技术的发展与进步，人们提出了越来越多的复杂的数值计算问题。[3]
数值分析的基本概念是容许误差，涵盖模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差及离散误差等类型。[17][12][18]其基本方法分为直接法、迭代法及离散化方法三大类，包括高斯消去法、雅可比迭代法、有限元法等，[2]常用的分析工具包括MATLAB、Python及Excel等。[19][20][21]数值分析的主要内容包括计算函数值、求解方程组、数学规划、数值积分、数值方程、解决特征值或奇异值问题等。[2][1][11]数值分析在现实世界中应用广泛，例如在水利工程领域，通过双变量误差分析，可以有效评估模型的实际应用能力，来保证设计的模型能够满足工程活动的需求等。[8]

学科简介

数值分析（Numerical Analysis）是研究分析用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论的学科，是计算数学得一个主要部分。数值分析一方面可使微积分、代数与几何、随机数学中的原理得以应用，方法得以实现，另一方面，可为数学问题的建模和求解提供思路。[2]数值分析具有以下特点：[14]