代数几何
将抽象代数与几何学方法结合的数学分支
条目
历史版本
代数几何（英文名：Algebraic Geometry）是现代数学的一个学科分支。[4]它融合了抽象代数与几何学的方法，[12]主要研究n维仿射空间或n维射影空间中多项式方程组的解，核心研究对象是代数簇。[6]
对代数簇的研究可以追溯到两千年前，古希腊数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius）使用综合几何方法详细研究了圆锥曲线，奠定了代数几何的早期基础。[4]到了17世纪，法国数学家笛卡尔（René Descartes）通过解析几何方法研究任意代数曲线方程，极大地推动了代数几何的发展。[13]19世纪，德国数学家黎曼（Bernhard Riemann）提出了内蕴的“黎曼面”的概念和黎曼面上代数函数的理论，[5]随后，法国数学家庞加莱（Henri Poincaré）首创了代数拓扑的同调理论。[4]
20世纪初期，代数几何理论在抽象域上得到了建立，[6]德国数学家外尔（Hermann Weyl）和荷兰数学家范德瓦尔登（Bartel van der Waerden）分别在各自的著作《黎曼面的概念》和《代数学》中给出了黎曼面以及相交理论中最基本的代数簇相交重数的严格定义，而法国数学家格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）与迪厄多内（Jean Dieudonné）在1960-1967年合作完成的《代数几何基础》将经典的代数簇理论推广成概形理论，为学科建立了牢固的逻辑基础。[4]到了20世纪后半叶，复数域上的代数几何经历了超越方法的重大进展，瑞士数学家德拉姆（G.W. de Rham）的解析上同调理论使得代数几何的研究可以应用偏微分方程、微分几何、拓扑学等理论。[6]
代数几何分支包括算术几何、[6]实代数几何和计算代数几何。[10][11]该学科涵盖的基本理论有联立多项式方程、[14]代数簇、[15]多项式函数、[16]正则映射、[17]有理映射以及射影簇等。[18][19]此外，代数几何的理论与成果在其他领域中具有广泛的应用价值，[7][8]如在工程学中，运用代数几何可以将非凸优化问题转化为线性矩阵不等式，便于求解。[3]