泊松过程
时间连续状态离散的随机过程
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简介
一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。用数学语言说，满足下列三条件的随机过程
叫做泊松过程。①
。②不相交区间上增量相互独立，即对一切
相互独立。③增量
的概率分布为泊松分布,即，式中
为非降非负函数。若X还满足④
的分布仅依赖于t-s，则称X为齐次泊松过程；这时
，式中常数
称为过程的强度，因为
λ等于单位时间内事件的平均发生次数。非齐次泊松过程可通过时间尺度的变换变为齐次泊松过程。对泊松过程，通常可取它的每个样本函数都是跃度为1的左(或右)连续阶梯函数。可以证明，样本函数具有这一性质的、随机连续的独立增量过程必是泊松过程，因而泊松过程是描写随机事件累计发生次数的基本数学模型之一。直观上，只要随机事件在不相交时间区间是独立发生的，而且在充分小的区间上最多只发生一次，它们的累计次数就是一个泊松过程。在应用中很多场合都近似地满足这些条件。例如某系统在时段
内产生故障的次数，一真空管在加热t秒后阴极发射的电子总数，都可假定为泊松过程。1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
齐次泊松过程的特征 描述随机事件累计发生次数的过程通常称为计数过程（见点过程）。一个简单而且局部有限的计数过程
，往往也可以用它依次发生跳跃(即发生随机事件)的时刻
来规定，即取
而当
时，
。若以，表示X(t)发生相邻两次跳跃的时间间距，则计数过程是齐次泊松过程的充分必要条件为是相互独立同分布的，且，其中λ为某一非负常数。齐次泊松过程的另一个特征是：固定t,X(t)是参数为λt的泊松分布随机变量，而当
已知的条件下,X的k个跳跃时刻与 k个在
上均匀分布且相互独立的随机变量的次序统计量（见统计量）有相同的分布。泊松过程的这一特征常作为构造多指标泊松过程的出发点。从马尔可夫过程来看，齐次泊松过程是时间空间都为齐次的纯生马尔可夫链。从鞅来看，齐次泊松过程X是使
为鞅的跃度为1的计数过程。
泊松过程的推广 较泊松过程稍为广泛的计数过程是更新过程，更新过程的跳跃时间间距是相互独立同分布的，但不一定是指数分布。这类过程常被用来描写某些设备的累计故障次数。若对跳跃时间间距不作任何假定，就成为一般的计数过程或称一维点过程。假如某设备在
时段内故障的累计次数N(t)是泊松过程，而每次故障造成的耗损不尽相同，用随机变量Yi表示第i次耗损，则在内总的耗损为。当
为齐次泊松过程，
又是相互独立同分布且与
独立时,
称为复合泊松过程。由于
可以用其跳跃时刻
来规定,因而复合泊松过程可用
来规定，即。若对的统计特性不作任何假定，这样规定的X 便是一种一般地描述系统跳跃变化的随机过程，常称为标值点过程，也称多变点过程或跳跃过程。