群

一个满足特定二元运算的非空元素集合
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群（Group）是抽象代数基本概念之一，其定义为：设G是一个非空的元素集合，若它具有乘法的二元运算且符合以下三个条件：满足结合律，存在单位元e，存在逆元，则G构成一个群。[5]
群的概念起源于古希腊时期，欧几里得在《几何原本》中就提到了群的思想。1830年，法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois）在方程求根中应用了群的概念，并将群分为简单群和复杂群。1849年，凯莱（Arthur Cayley）首次提出了"抽象群"的概念，并在1854年第一次给出了群的公理化定义。19世纪后期以来，群论逐渐衍生出许多分支，挪威数学家马里乌斯·索菲斯·李（Marius Sophus Lie）在研究微分方程时，发现某些微分方程的解对一些连续变换群是不变的，并由此引入了李群的概念。1901年，舒尔（I. Schur）研究了有限群表示的问题。[2][3][5]
常见的群包括有限群、交换群、循环群、李群。[1][9][10][5]群有同态、同构关系。[12][13]群论中包括一些著名定理，有拉格朗日定理和西罗定理，其中拉格朗日定理揭示了群的阶与其子群的阶之间的关系。[5][11]同时，一些特殊的群，如Frobenius群，具备很多推广形式，近年来引发了诸多学者的广泛关注。[14]群的概念和理论在现实世界中应用广泛，如，在密码学中，根据群设计的求解离散对数的算法，可以提升安全级别、提高运算效率。[7]

定义

设
是一个非空集合，如果在
上定义一个代数运算，称为乘法，记作
，而且它适合以下条件，那么
称为一个群：