完全剩余系
由剩余类产生的一组数
条目
完全剩余系（complete system of residues）简称完系，是数论基本概念之一，它是由剩余类产生的一组数。[1]
数论产生于约公元2世纪，最初的研究是与几何学交织在一起的。[5]1801年，德国数学家卡尔·弗里德里希 ·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）出版《算术研究》，该书结束了19世纪以前数论的无系统状态，并且为同余概念引入了符号，详细地介绍了同余的运算等基本定理。[2][6]有了同余的概念后，就可以把余数相同的整数放在一起考虑，这就产生了“剩余类”的概念，同时也就引出了模
的完全剩余系的概念。[7][8]
完全剩余系有最小非负完全剩余、最小完全剩余系两种类型。它有5个基本性质，比如设
是正整数，
，
是任意整数，若
通过模的一个完全剩余系，则
也通过模的完全剩余系。[1]数论中简化剩余系的概念与完全剩余系有很多相似的结论，通过构造剩余系，可以解决许多证明例题。[9]在其他领域，完全剩余系可以构造全距置换，应用于密码学的研究。[3][4]
定义
完全剩余系是由剩余类产生的一组数，在模
的剩余类
中各取一个数
，此个数
称为模的一组完全剩余系。个整数构成模的一组完全剩余系的充分必要条件是它们对模两两不同余。模的完全剩余系有无穷多组。[1]