仿射变换

数学术语之一
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仿射变换（affine transformation) 可以写成 Y=AX+b，的形式。

正文

仿射平面（或空间）到自身的一类变换，最重要的性质是保持点的共线性（或共面性）以及保持直线的平行性。作为最常见的例子，首先引进两平面间的平行投影，设已知两平面π与π´，d是与两平面都不平行的向量，过平面 π上各点A、B、C、…分别作与d平行的直线交π´于A´、B´、C´、…，于是π与π´各点间存在着一一对应的关系，这项对应关系叫做π 到π´的平行投影。A与A´，B与B´,C与C´…为平行投影下的对应点，显见平行投影与 d有关。两平面间的平行投影具有以下重要性质：点变点；直线变直线；点与直线的结合关系不变。共线三点的简比不变，即
其中A´、B´、C´分别是共线三点A、B、C的对应点，平面π上的两条平行线，对应着平面π´上的两条直线，也是平行的（图1）。当把π经过一系列平行投影，最后仍变到π本身的一一变换，就是一个仿影变换。在此情况下，上述性质也是保留的。将平行投影的概念加以推广，即得到下面的重要概念。
仿射变换
两平面间的一一对应，如满足共线三点的对应点仍是共线三点；则此一一对应，叫仿射对应。如果两平面重合，就叫平面到它本身的仿射变换。因为仿射变换之积，仍是仿射变换；任一个仿射变换的逆，仍是仿射变换，故平面内所有仿射变换的集合成群(见变换群)，叫做仿射变换群。它是射影变换群的子群。类似地可定义空间的仿射变换及仿射变换群。