拓扑空间
拓扑学中研究的主要对象
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拓扑空间（英文名：topological space[1]）是拓扑学领域研究的主要对象，[12]其定义为：对非空集合X上的子集族T，如果满足条件：(1)∅∈T，X∈T；(2)子集族中任意多个集合的并 集、有限多个集合的交集属于子集族，则T为X上的拓扑。[8]拓扑空间的等价定义包括闭包公理、邻域系公理、子基公理等公理。[4]
拓扑学的历史可追溯到17世纪，1679年，莱布尼茨（Leibniz）提出了位置几何学，不考虑坐标以及度量，直接研究位置关系。[13]19世纪，康托尔（Cantor）为了能够更方便准确地写出不连续点的集合需要满足的条件，提出了聚点、导集、开集、闭集等概念。[1]1906年，弗雷歇（Frecher）用收敛序列定义了一种空间，1907年，里斯（Riesz）用聚点也定义了一种空间，都是具有拓扑结构的抽象空间，但是他们的成果不能令人满意。直到1914年，豪斯多夫（Hausdorff）利用邻域系提出的拓扑空间定义发展成为了有系统且详尽的一般理论，一般拓扑学逐渐发展起来。后来，穆尔（Moore）于1916年用开集系、库拉托夫斯基（Kuratowski）于1922年用闭包算子分别提出另一种公理系统 ，这些定义彼此等价。[2][1]
利用已知的拓扑空间可以生成子空间、乘积空间、商空间等新的拓扑空间。[11]拓扑空间具有分离性、连通性、紧性等性质，连续映射的概念描述了拓扑空间的连通性。[11]常见的拓扑空间包括线性空间、度量空间、巴拿赫空间、柯西空间等。[8][9][10][1]拓扑空间可以推广为模糊拓扑空间和未确知拓扑空间，同样可定义开集、闭集的概念。[14][15]此外，拓扑空间在现实世界中应用广泛，如在工程学中，基于拓扑优化与仿生的思想，可以设计一种空间太阳能电站，提升热量导出的效率。[5][6]