椭圆曲线

代数闭域k上亏格等于1的光滑射影曲线
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椭圆曲线（elliptic curve）是代数闭域
上亏格等于1的光滑射影曲线[2]，它的曲线方程式可以表达成Weierstrass方程式：[9]
其中，
是实数，并满足一定的条件。[9]椭圆曲线还包括一个称为无穷点或者零点的特殊元素，记为
。[3]椭圆曲线的形状实际上并非完全是椭圆的[3]，之所以有这个名称在过去它们被用来度量椭圆的周长和行星轨道的长度。[10]
对椭圆曲线的研究来自于椭圆积分。[3]1958年英国数学家Birch和Swinnerton-Dyer对构造的椭圆曲线
的
函数在
处的零点与椭圆曲线
上的有理点关系给出了一个简称BSD猜想。[11]1985年，尼尔·科布利兹（NealKoblitz）和维克·托米勒（Victor Miller）独立提出了椭圆曲线算法（ellipse curve cryptograph，ECC）。[12]
椭圆曲线是对称的，具有乘法运算和加法运算，[13]其加法运算满足一定的特性，如封闭性、结合性。[14][15]椭圆曲线可以进一步推广至实数域或有限域上的椭圆曲线，[4][9]与它有关的概念有椭圆、椭圆积分与椭圆函数等。[16][17]椭圆曲线及其相关算法应用非常广泛，如密码学[4]、无线局域网安全技术[5]、通信领域[6]、数论研究等领域[7][8]，其中数论研究中Hasse定理与费马大定理更是与椭圆曲线密切相关[18][19]。

定义