常微分方程
方程中的未知函数是一元函数的微分方程
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常微分方程（英文：Ordinary Differential Equation，简称QDE[1]）是联系自变量、未知函数以及它的导数的关系式。[14]其定义为：如果方程中的未知函数是一元函数，即只含一个自变量的微分方程，称为常微分方程。[15]
常微分方程的发展最早可追溯至16世纪末。1590年，意大利天文学家伽利略（G.Galileo）在比萨斜塔自由落体实验中，通过求解微分方程发现了物理的运动规律。[2]1676年，德国数学家莱布尼茨（G.W.Leibniz）在给牛顿的信中首次提出“微分方程”的数学术语。[3]1743年，瑞士数学家欧拉（L.Euler）给出了“通解”和“特解”等概念。[4]1754年，法国数学家拉格朗日（J.L.Lagrange）在解决等时曲线问题过程中创立了变分法，提出了求解任意阶变系数非齐次线性常微分方程的常数变易法。18世纪末，常微分方程发展成为了一个独立的数学分支。[7][5]
19世纪初至19世纪中期，微分方程发展出了一套包括解的存在性、唯一性、延伸性，以及解的整体存在性、解对初值和参数的连续依赖性和可微性等基本理论的适定性理论体系。[7]1876年，德国数学家李普希茨（Lipschitz）提出了著名的“李普希茨条件”，对解的存在唯一性定理做出进一步改进。1881年，法国数学家庞加莱（Poincare）创立了常微分方程的定性理论，开启了从“求定解问题”转向“求所有解”的新时代。至20世纪60年代，随着计算机技术的发展，常微分方程从“求所有解”转入“求特殊解”的时代。[6]
常微分方程可根据方程阶数、方程个数等分类，[16]其中高阶方程的求解往往较为复杂，可以对一些特殊类型的方程进行降阶处理，如不显含未知函数的方程等。[11]在随机过程理论中，常微分方程可推广得到伊藤积分方程。[17]此外，该概念可广泛地应用在自然科学和社会科学等领域，如在金融学中，多指标正则化基因表达式编程算法的高阶常微分方程模型能够刻画股价随时间的变化趋势，有效且准确地描述数据波动。[8]