黎曼曲面
黎曼于1851年提出的类似于曲面的结构
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历史版本
黎曼曲面概念的形成与椭圆积分理论有关。[14]18世纪开始，数学家法尼亚诺（G. F. Fagnano）、欧拉（L. Euler）推导得出椭圆积分的加法公式，阿贝尔（N. H. Abel）对其进行了推广，但在当时，人们对于复变函数固有的多值性问题还存在 困扰[4][14]。1851年，德国数学家黎曼（G. F. B. Riemann）从几何的角度上研究阿贝尔积分，论证了复变函数可导的充分必要条件（即柯西—黎曼方程），阐述了黎曼映射定理[15]，在他的博士论文《单复变函数的一般理论基础》中首次提出了黎曼曲面的几何概念[16]。1857年，黎曼在论文《阿贝尔函数的理论》中，对概念从拓扑、分析、代数几何各角度进行了系统研究，深入阐述了他的理论[15]。1882年，克莱因（F. Klein）出版了他的小册子《关于黎曼代数函数及其积分的理论》，提出了“黎曼面在前，函数在后”的基本思想。1913年，外尔（H. Weyl）在他的著作《黎曼曲面的概念》中首次采用流形来定义黎曼曲面，并说明它是一个一维的复解析流形[5]。
黎曼曲面具有许多实例，如复平面
[17]、二值函数
等[18]。代数函数可表示黎曼曲面，它具有非紧性、没有奇点等基本性质[13]。黎曼曲面可分为三类：椭圆型、双曲型、抛物型[12]。与黎曼曲面相关的定理有单值化定理、黎曼—罗赫定理等，其中单值化定理描述了黎曼曲面的共形等价性质，是黎曼曲面理论的基本定理[2][19]。此外，黎曼曲面在现实世界中具有广泛的应用价值，如在工程技术领域，通过检验黎曼曲面的因果性可以进行电液伺服阀动态特性的分析，帮助提升整个控制系统的精度与稳定性[7]。