曲率
描述曲线弯曲程度的数值
条目
历史版本
曲率（Curvature）是描述曲线弯曲程度的数值。[9]它是弧长关于转角的变化率，在弧长相等时，转角越大，曲率值越大；转角相同时，弧长越小，曲率值越大。特别地，对于直线来说，曲率的数值为零[3]；圆的曲率为其半 径的倒数。[10]
曲率的概念起源于物理问题的研究。1673年，克里斯蒂安·惠更斯（Christian Huygens）在《钟表的振动》中，采用纯几何方法研究了平面曲线的性质，并证明了曲线上的点沿固定法线到曲率中心的距离是
，其长度是曲线在该点的曲率半径。之后，牛顿（Newton）在《解析几何》中也引进了曲率中心，给出了曲率的公式，并计算了一些曲线，包括摆线在内的曲率。后来，曲率的不同定义方式被提出，有学者将概念进行了推广。1775年，欧拉（Euler）用参数方程表示空间曲线，定义曲率半径为
。[2]1827年[11]，高斯（Gauss）将曲面上一点的曲率定义为曲面面积与球面上对应区域的面积之比的极限。[12]1854年，波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）谈论了有关
维空间的曲率问题。[2]
曲率可以定义为密切圆半径的倒数[13]，曲率梳是一种反映曲率分布的作图方式。[14]由于曲线方程具有多种形式，曲率的计算公式也有所不同。[10]平 面曲率可以推广到曲面、空间中，形成高斯曲率[7]、黎曼曲率[8]。此外，曲率在现实世界中应用广泛，如物理学中，使用局部坐标系下计算得到的高斯曲率，能够更有效地界定地下地质结构的边界。[5]