拓扑学
研究图形在连续变换下不变性质的数学分支
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历史版本
拓扑学(英文名Topology[2])是研究几何图形在一对一的双方连续变换下保持不变性质的一门数学分支。[5]研究几何形状在连续形变下的不变性，即“拓扑不变性”和“拓扑等价性”等内容。在拓扑学里所研究的图形，大小、形状都可以改变，但是表面的点、线的结合关系、顺序关系应该保持不变。[8]
有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了一些孤立问题，例如，哥尼斯堡七桥问题。[9]1736年，欧拉发表了关于哥尼斯堡七桥问题的论文，这篇文章被认为是属于拓扑学的第一篇论文。[10]1847年，利斯廷提出Topology这一数学名词，即拓扑学。[11]用这个词来表示一个新的研究方向——“位置的几何”。[9]"拓扑"(Topology)一词源于希腊语，表示地点(topos)和研究(-logy)。[3]拓扑学属于几何学的范畴，形成于十九世纪。[9]1858年，莫比乌斯和利斯廷各自独立发现了单侧曲面，莫比乌斯带。[11]1895年庞加莱发表了《位置分析》等一系列拓扑学方面的文章，并提出著名的“庞加莱猜想”。[4]到19世纪末，拓扑学已出现了点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。[5]1935年以后，拓扑学得到了大发展。[12]到20世纪50年代，微分拓扑学有了新进展，产生了K理论。[4]2006年，数学界确认庞加莱猜想被佩雷尔曼证明。[3]
拓扑学是现代数学的一个重要分支。[9]拓扑学的许多抽象概念都可以用橡皮泥来形象化、具体化。因此，拓扑学常常被称为“橡皮几何学”。[13] 按照传统的分类, 拓扑学大致可以分为四个分支: 点集拓扑、代数拓扑、组合拓扑、微分拓扑。[14]拓扑学愈来愈渗入到物理学、化学和生物学领域中，有非常突出的重要应用。[3][15]