同余式
一个表示同余关系的表达式
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同余式（英文名：Congruences）[1]是一个表示同余关系的表达式。[8]其定义为：设f(x)是一个系数为整数的多项式，即：f(x)=cnxn+···+c1x1+c0，其中c1是整数，m是一个正整数，则f(x)≡0(mod m)称为模m的同余式。若cn≠0，f(x)称为模m的n次同余式。[7]
同余式的问题与解法具有悠久的历史，公元300年，中国《孙子算经》记载的“物不知数”问题蕴含了同余式求解的思想。[3]近代以来，欧拉（Leonhard Euler）在1734年的论文中提出了关于一次同余式组的两个解法。[4]1800年左右，高斯（Gauss）首创了同余式的记号，[2]他的《算术研究》是一次同余式理论研究领域的里程碑。[4]后来，莫利（Morley）依赖于棣莫弗定理证明了一个关于二项式系数的同余式，拉马努金（Ramanujan）研究了整数拆分函数的多项式，尽管他们的猜想并不完美，但依然引发了诸多关注与讨论。[5][6]
同余式有一些基本运算性质和特 殊性质，例如，同余式两边可以同时加上、减去或乘以同一个整数[8]，每一整数与它的各位数字之和对模9同余等。[2]其中基本运算性质可以得到与换底公式相似的换模公式。[3]利用连分式法、剩余定理法、降次转化法可分别求解一次同余式、同余式组以及高次同余式。[10][9][11]近年来，有学者对复杂变化的同余式进行了研究，如含调和级数的同余式，得到了一些推广的结论。[12]