结合代数，是一种代数系统，类似于群、环、域，而更接近于环。仿照由实数来构造复数的方法，可用复数来构造新的数。 正文
一种代数系统，类似于群、环、域，而更接近于环。结合代数的研究，早在19世纪50年代，W.R.哈密顿考察四元数、H.G.格拉斯曼引入向量乘法以及A.凯莱等人讨论矩阵代数之时就已开始，其目标是刻画各种类型的结合代数的结构和表示。 设A是非空集,F是域。在集A上定义有加法+和乘法·两个运算，在F和A之间定义有数乘运算，即对于任意α∈F,α∈A有αα∈A,且满足以下条件:①A关于加法+和乘法·作成结合环;②A关于加法+及数乘运算构成域F上的向量空间；③对任意α∈F，α、b∈A有α(αb)=(αα)b=α(αb)，这种代数系统记作｛A,+,·,数乘｝并称为域F 上结合代数，简称F上代数A或代数A。域F上向量空间A的维数也称为F上代数A的维数。 环的加法群是一个交换群，而代数的加法群是域F上的向量空间，后者较前者的结构要简单得多。例如，向量空间A必有基｛αi，i∈I｝，而任意α∈A可惟一表成。于是只要知道αi之间的乘法表:,便可以计算A中任二元素,的乘积称为代数A的构造常数。反之，通过规定向量空间A的一组基元之间的乘法，可线性扩张成A中的一个乘法。人们常利用这种方便定义新代数。