级数

一种表示无穷个数相加的函数
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级数（Series），又称无穷级数，是表示无穷个数相加的函数。[1]级数主要分为数项级数和函数级数两类，[1]它通常可以用来研究函数性质、进行数值计算。[3]
无穷级数的理论在历史上经历了长期的发展过程，古希腊时代已经有了公比小于1的无穷几何级数的概念。[2]在古代中国，沈括首次提出了求解高阶等差级数之和的例证。[13]15世纪中叶，法国数学家奥尔斯姆（Oresme）证明了调和级数的发散性。[2]1673年，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）发现了圆周率的无穷级数表达式。[4]18世纪，瑞士数学家欧拉（Euler）将复数项级数用于数论等领域。[2]1811年，法国数学家傅里叶（Fourier）给出了级数收敛性的正确定义。1821年，法国数学家柯西（Cauchy）在其《分析教程》中建立了收敛性的近代理论基础。19世纪中叶，德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass）等人明确了一致收敛的概念，使无穷级数的收敛性理论趋向完整。[2]
典型的数项级数包括正项级数、[9]任意项级数，[10]函数项级数包括幂级数及三角级数。[11][12]级数的收敛具备一些基本性质，可通过特定的方法进行敛散性的判定，如比较审敛法、[14]比值审敛法适用于数项级数，[15]而魏尔特拉斯判别法、[16]阿贝尔判别法适用于函数级数。[17]同时，对级数的研究可以和数论、拓扑学其他数学分支相结合，得到一些复杂推广的结论。[18][19]级数作为一项重要的数学工具，在物理、[6]生物和经济领域均有广泛的应用价值。[7][8]

定义

级数即无穷个数相加，可分为数项级数以及函数项级数。[1]