极限
应用于数学微积分中的概念
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极限（Limit）是微积分学的基本概念之一，用于定义连续、导数、积分和级数等数学概念，分为数列极限和函数极限。[1]数列极限的定义为：设
为一数列，如果存在常数
，对于任意给定的正数
（不论它多小），总存在正整数
，使得当
时，不等式
都成立，则称
为数列的极限或称数列收敛于
。[3][7]函数极限的定义可描述为：在自变量变化过程中，若函数值无限趋近于某一确定数，则该数称为函数在此过程中的极限。此外，函数的极限因自变量变化过程不同会呈现不同形式。[8]
极限概念的起源可以追溯到中国古代和古希腊时期。17世纪，英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹独立 创立了微积分学，极限概念成为微积分建立过程中不可或缺的部分。18世纪，法国数学家达朗贝尔首次将极限概念明确地作为微积分的基础。19世纪，法国数学家柯西通过算术方法明确定义了极限，为无 穷小和无穷大量的理解提供了清晰的算术基础。随着极限概念被推广到多元函数和复变量函数，美国数学家穆尔和德国数学家史密斯通过引入广义序列的收敛定义了极限的更一般化概念，不仅拓展了极限概念的应用范围，还在现代拓扑学和分析数学中起到了重要作用。[2][9]
极限具有唯一性、[10]有界性和保号性等性质。[11][12]极限的求法有四则运算法则和复合函数的极限运算法则等。[13]极限的相关概念有无界变量、[14]无穷小量和无穷大量。[15][16]极限的推广包括夹逼定理、[17]单调收敛定理和柯西收敛准则等。[18][19]两个重要极限分别为
和
。[1]极限的应用范围广泛，在数学、物理、经济领等域均有重要价值。[6]