正态分布
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正态分布（Normal distribution），又称为常态分布或高斯分布，通常记作
，是非常重要的概率分布，在统计学领域具有重要影响[1]。正态随机变量
的概率密度函数定义为
，式中，
是的数学期望，
是的方差[9]；当参数
，
时，即
时，则称服从标准正态分布，相应的概率密度函数记为
[17][18]。
正态分布的概念最早由法国数学家棣莫弗（A. D. Moivre）于1733年提出[2][3]，但他没有从统计学的角度考虑正态分布的意义并将其用在误差分析中[4]。在其之后，高斯（C. F. Gauss）率先提出了“正态误差”的理论[5]，并和拉普拉斯（P-S. Laplace）一起研究了正态分布的性质[19][20][21]。
正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线（类似于寺庙里的大钟，因此得名）[22]。正态分布作为连续分布有着良好的统计学性质，有概率密度[9]、累积分布[18]、矩母[23][24]和特征函数表达式[25][26]，有期望（均值）、方差[27][28]、偏度和峰度等数字特征存在[11][12]。中心极限定理指出，在特定条件下，如果
是独立分布的随机变量，它们具有相同的分布，且有有限的均值和方差，则这些样本的平均值也是一个随机变量，其分布随着样本数量的增加而收敛于正态分布[29][30]。因此，许多与独立过程总和有关的物理量，例如测量误差，通常可被近似为正态分布[31]。
自然界和社会中许多现象或变量都呈现出接近正态分布的特征，例如考试成绩、身高等[1]。正态分布是统计分析和概率论中的重要理论基础，适用范围广泛[6][32]，可用于质量控制、估计变量的频数范围和制定医学参考值范围等[6][7][8]。