二重积分

某种特定形式的和的极限
对于一个二元函数
,如果其在闭区域
上的和式
的极限总存在,则称此极限为函数
在闭区域
上的二重积分(英文:double integral),记作
[5][6]
二重积分是一个和式的极限,是定积分的发展与推广,是多元函数积分学的内容之一。与定积分类似,二重积分的求解思想同样遵循“分割、近似、求和、取极限”的思想。[1][2]

历史

17世纪末,英国数学家牛顿(英文:Isaac Newton)和德国数学家莱布尼茨(英文:Gottfriend Wilhelm Leibniz)提出了极限的概念,奠定了微积分学发展的基础。1687年,牛顿在他的 《自然哲学的数学原理》 中讨论球与球壳作用于质点上的万有引力时,以几何形式论述了重积分的概念。[1][7][8]
18世纪,数学家欧拉(英文:Leonhard Euler)用形式化的分析方法取代了过往的几何法,对微积分的许多基本概念和理论进行了严谨的定义,这其中也包含了对二重积分的研究。例如,提出了累次积分的方法计算二重积分,明确表述二重积分的概念、化二重积分为二次积分、讨论二重积分的变数置换问题。1770 年,欧拉又给出了二重积分的概念和二重积分的记号
[3][4]除了欧拉外,另一位数学家拉格朗日(英文:Joseph-Louis Lagrange)在他的著作中用三重积分表示引力,用球坐标计算重积分,开创了多重积分变换的课题。[8]