对于一个二元函数，如果其在闭区域上的和式的极限总存在，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分（英文：double integral），记作。[5][6] 二重积分是一个和式的极限，是定积分的发展与推广，是多元函数积分学的内容之一。与定积分类似，二重积分的求解思想同样遵循“分割、近似、求和、取极限”的思想。[1][2]
历史
17世纪末，英国数学家牛顿（英文：Isaac Newton）和德国数学家莱布尼茨（英文：Gottfriend Wilhelm Leibniz）提出了极限的概念，奠定了微积分学发展的基础。1687年，牛顿在他的 《自然哲学的数学原理》 中讨论球与球壳作用于质点上的万有引力时，以几何形式论述了重积分的概念。[1][7][8] 18世纪，数学家欧拉（英文：Leonhard Euler）用形式化的分析方法取代了过往的几何法，对微积分的许多基本概念和理论进行了严谨的定义，这其中也包含了对二重积分的研究。例如，提出了累次积分的方法计算二重积分，明确表述二重积分的概念、化二重积分为二次积分、讨论二重积分的变数置换问题。1770 年，欧拉又给出了二重积分的概念和二重积分的记号。[3][4]除了欧拉外，另一位数学家拉格朗日（英文：Joseph-Louis Lagrange）在他的著作中用三重积分表示引力，用球坐标计算重积分，开创了多重积分变换的课题。[8] 