几何证明
由公理和定理推导出命题的过程
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历史版本
在数学上，证明是在一个特定的公理系统中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推导出某些命题的过程，起作用为减少计算量。比起证据，数学证明一般依靠演绎推理，而不是依靠自然归纳和经验性的理据。这样推导出来的命题也 叫做该系统中的定理。
定义
证明指从一系列公理、命题出发，通过一步步严密的逻辑论证从而推导出某个结论，[1]是建立定理真实性的一个有效论证，[2]数学上的证明包括两个不同的概念。首先是非形式化的证明：是以自然语言写成的严密论证。[3]是一种用来说服听众或读者接受某个定理或论断的严密的自然语言表达式。由于这种证明依赖于证明者所使用的语言，因此证明的严密性将取决于语言本身以及听众或读者对语言的理解。非形式化证明出现在大多数的应用场合中，例如科普讲座、口头辩论、初等教育或高等教育的某些部分。有时候非形式化的证明被称作“正式的”，因为其中的论证严谨，理据充足，但数理逻辑学家使用“正式的”证明时指的是另一种完全不同的证明——形式化证明。
形式化证明采用的是数学与逻辑的方法，[4]它并不是以自然语言书写，而是以形式化的语言书写：这种语言是由一个固定的字母表中的字符所构成的字符串组成的，而证明则是以形式化语言表达的有限长度的序列。这种定义使得形式化证明不具有任何逻辑上的模糊之处。[5]研究证明的形式化和公理化的理论称为证明论。尽管理论上来说，每个非形式化的证明都可以转为形式化证明，但实际中很少需要用到。对形式化证明的研究主要应用在广泛意义上上可证明性的性质，或说明某些陈述的不可证明性等等。