最小公倍数

若干个整数公有的倍数中最小的正整数
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最小公倍数是数论中的一个概念。若有一个数
，可以被另外两个数
整除，且
大于(或等于) 
和
，则
为
和
的公倍数。
和
的公倍数有无限个，而所有正的公倍数中，最小的公倍数就叫做最小公倍数。同样地，若干个整数公有的倍数中最小的正整数称为它们的最小公倍数。
整数
的最小公倍数一般记作：
，或者参照英文记法记作
，其中
是英语中"最小公倍数”一词(least common multiple)的首字母缩写。[5]最小公倍数的概念最早可以追溯到古希腊数学。古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）和欧几里得（Euclid）是最早研究最小公倍数的数学家。他们在研究整数和比例时，发现了最小公倍数的重要性。然而，直到17世纪，数学家约翰·菲利普·博尔赫斯（John Philip Borges）和勒让德·德·朗德（Legendre de Lande）等人才正式将最小公倍数的概念纳入数学理论框架中。[3]
最小公倍数在数学中具有重要的作用，尤其在分数的运算和方程的解法中经常会用到。在分数的加减乘除运算中，我们需要将分母进行通分，使得分母相同，从而方便计算，通分的基础就是找到分母的最小公倍数。最小公倍数可以用于解决周期性问题，如圆的周长和半径之间的关系、天体运动的周期等。通过求最小公倍数，可以确定一个周期内事件的重复次数或时间间隔。[6]

发展历史

最小公倍数的概念可以追溯到古代数学发展的早期。古代埃及和巴比伦的数学家们在解决分数和比例问题时首次遇到了最小公倍数的概念。在中国古代的《九章算术》中，这本书是中国数学史上的一部重要著作，记载了古代中国人在算术方面的研究成果。其中的“乘除方”一章中，就提到了求解最小公倍数的方法。这本书的成书时间可以追溯到公元前2世纪，因此可以认为最小公倍数的概念至少在这个时期已经被古代中国数学家所熟知。[7]古希腊的数学家欧几里得（Euclid）（公元前330-275），他被称为“几何之父”，著作《几何原本》被成为最成功的教科书，在这本书也提到了最小公倍数，欧几里得在这本书中主要研究了几何学的基础知识，但也涉及了一些数论方面的内容。他给出了一种辗转相除法的方法，用于计算两个数的最小公倍数。[8]在古代印度，数学家布拉马古普塔（Brahmagupta）在其著作《布拉马斯智慧》中也提到了最小公倍数的概念，也提出了一些与代数和数论相关的重要定理和问题。他研究了二次方程的解，提出了解决二次方程的一般公式。他还给出了一个重要的定理，即两个互质的数的乘积与它们的最小公倍数之积相等，这个定理在代数和数论中被广泛应用。他给出了计算两个数的最小公倍数的方法，这种方法类似于欧几里得算法，但稍有不同。布拉马古普塔的方法在印度数学中得到了广泛应用。[9]
古希腊数学家欧几里得