勒贝格积分

1904年勒贝格提出的积分概念
勒贝格积分，是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。在最简单的情况下，对一个非负值的函数的积分可以看作是求其函数图像与轴之间的面积。勒贝格积分则将积分运算扩展到其它函数，并且也扩展了可以进行积分运算的函数的范围。最早对积分运算的定义是对于非负值和足够光滑的函数来说，其积分相当于使用求极限的手段来计算一个多边形的面积。但是随着对更加不规则的函数的积分运算的需要不断产生（比如为了讨论数学分析中的极限过程，或者出于概率论的需求），很快就产生了对更加广义的求极限手段的要求来定义相应的积分运算。在实分析和在其它许多数学领域中勒贝格积分拥有一席重要的地位。勒贝格积分是以昂利·勒贝格命名的，他于1904年引入了这个积分定义。今天勒贝格积分有狭义和广义两种意义。广义地说是相对于一个测度而定义的函数积分。狭义则是指相对于勒贝格测度在实直线或者更高维数的欧氏空间的一个子集中定义的函数的积分。

概念简述

众所周知，在里一个区域E的黎曼积分的几何意义是分别用一个(即有限个)曲边多边形A和B去覆盖和填充E，若
，则称E可积。而在应用中这在某种情况下面是不足够的。所以勒贝格从“一个”曲边多边形出发，去更改积分的定义，把“一个”改为“可数个”，最终导致数学史上的第三次完备化——L可积函数的极限仍然是L可积的。

积分介绍

积分是“和”的概念。即将东西加起来。所以积分早期是从面积，路程等计算中发展起来。比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将小区间的高度（Y值）乘以小区间的长度，然后加起来。用极限法就可以求得精确的面积。这是传统的积分概念（黎曼积分）。