曲面
直线或曲线在条件下的运动轨迹
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历史版本
曲面（camber）可以看作空间满足一定条件的点的几何轨迹[10]。如果曲面与方程F(x,y,z)=0满足：①曲面上每一点坐标都满足方程F(x,y,z)=0；②以满足方程F(x,y,z)=0的解为坐标的点都在曲面上，则称F(x,y,z)=0为曲面的方程，而称曲面为此方程的图形[7][11]。曲面还可以使用参数方程进行表示[12]。
曲面的研究可追溯至古代文明时期，阿基米德（Archimedes）等数学家在此领域取得显著成就。随着微分法和积分法的发展，逐渐形成了独立的曲线和曲面理论。欧拉（Euler）等数学家对曲面理论的创立与深化作出重要贡献，尤其是欧拉对测地线的研究和高斯对曲面微分几何的奠基性工作。高斯（Gauss）建立了曲面内在几何，并引入曲率概念，对微分几何发展影响深远[13][14][2]。按照现代拓扑学的观点，波恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）实际上已经对闭曲面按亏格分类，黎曼在复变函数论领域的工作很大程度上推动了拓扑学的发展[15]。此外，黎曼还进一步将曲面视为独立几何实体，开创黎曼几何，为微分几何发展奠定基石。后续数学家不断丰富和完善黎曼几何理论，推动了曲面研究的深入发展[13][14][2]。
曲面除了具有切平面、法线、主方向等性质以外[12]，还具有拓扑性质[16]。此外，曲面在一点
的杜邦指标线可以反映该点邻近的结构[12]。常见的曲面有球面、旋转面以及柱面等[7][8][9]。随着曲面理论的逐步发展，曲面已逐渐应用于建筑学、机械学以及工程学等领域[4][5][6]。